Question

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рвана 64.Члены,стоящие на нечётных местах,образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию,сумма которой равна 51,2.Вычислите первые четыре члена каждой из прогрессий

Answer 1

S = b₁ / (1-q) = 64
b₁ = 64(1-q)
----------------
b₁; b₃; b₅; b₇;... --другая геометрическая прогрессия, b₁ тот же, Q другое...
b₁; q²*b₁; q⁴*b₁; q⁶*b₁;...
b₁; Q*b₁; Q²*b₁; Q³*b₁;... ---> Q = q²
S' = b₁ / (1-Q) = 51.2
64(1-q) / (1-q²) = 51.2
64 = 51.2(1+q)
1+q = 64/51.2 = 1.25
q = 1.25 - 1 = 0.25 = 1/4
Q = q² = 1/16
b₁ = 64(1 - 0.25) = 64*3/4 = 48
первая последовательность: 48; 12; 3; 3/4...
вторая последовательность: 48; 3; 3/16; 3/256...

Answer 2

Решение:

Дано, что сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 64, и члены, стоящие на нечётных местах, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма которой равна 51.2.

Пусть первый член и знаменатель исходной прогрессии равны a и q соответственно. Тогда сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии может быть вычислена по формуле:

\[ S = \frac{a}{1 - q} \]

Также, пусть первый член и знаменатель прогрессии, составленной из нечётных членов, будут равны a₁ и q₁ соответственно. Тогда сумма этой прогрессии может быть вычислена по той же формуле:

\[ S₁ = \frac{a₁}{1 - q₁} \]

Так как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 64, и сумма нечётных членов равна 51.2, у нас есть два уравнения:

\[ S = \frac{a}{1 - q} = 64 \] \[ S₁ = \frac{a₁}{1 - q₁} = 51.2 \]

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти a, q, a₁ и q₁. После этого мы сможем найти первые четыре члена каждой из прогрессий.

Вычисление первых членов и знаменателей:

1. Найдем a и q.

Из уравнения \( S = \frac{a}{1 - q} = 64 \) мы можем найти a и q, используя информацию о сумме и знаменателе:

\[ a = S \times (1 - q) \] \[ a = 64 \times (1 - q) \]

Теперь, используя уравнение \( S₁ = \frac{a₁}{1 - q₁} = 51.2 \), мы можем найти a₁ и q₁:

\[ a₁ = S₁ \times (1 - q₁) \] \[ a₁ = 51.2 \times (1 - q₁) \]

2. Найдем первые четыре члена каждой прогрессии.

После нахождения a, q, a₁ и q₁, мы можем найти первые четыре члена каждой прогрессии, используя формулу общего члена геометрической прогрессии:

\[ a_n = a \times q^{(n-1)} \] \[ a_n₁ = a₁ \times q₁^{(n-1)} \]

где a_n - n-й член исходной прогрессии, a_n₁ - n-й член прогрессии из нечётных членов.

Давайте начнем с вычисления a, q, a₁ и q₁, а затем найдем первые четыре члена каждой из прогрессий.