Question

Sin3x+sqrt(3)cos3x=1

Answer 1

$sin3x+ \sqrt{3}cos3x=1$
$2(\frac{1}{2}\sqrt{3}*cos3x+\frac{1}{2} sin3x)=1$
$2(sin(\frac{\pi}{3}cos3x+cos(\frac{\pi}{3}sin3x ) )=1$
$2cos(\frac{\pi}{6}-3x)= 1$
$cos(\frac{\pi}{6}-3x)=\frac{1}{2}$

π/6 -3x=π/3 +2πn; n∈Z                      π/6 -3x=5π/3 +2πn; n∈Z
-3x=π/6 +2πn; n∈Z                             -3x=3π/2 +2πn; n∈Z
x=-π/18 -2πn/3 ; n∈Z                         x=-π/2 -2πn/2 ; n∈Z

Answer 2

Чтобы решить уравнение sin(3x) + sqrt(3)cos(3x) = 1, мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства функций синуса и косинуса. Давайте приступим к решению.

Первый шаг: приведение косинуса и синуса к общему аргументу

Мы знаем, что cos(3x) = cos(2x + x). Используя формулу для косинуса суммы, мы можем записать это как: cos(3x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)

Теперь мы можем заменить cos(3x) в исходном уравнении:

sin(3x) + sqrt(3)(cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)) = 1

Второй шаг: использование тригонометрических тождеств

Давайте воспользуемся некоторыми тригонометрическими тождествами, чтобы упростить уравнение.

1. Тождество суммы для синуса: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

2. Тождество разности для синуса: sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

3. Тождество суммы для косинуса: cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

4. Тождество разности для косинуса: cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Третий шаг: упрощение уравнения

Применив тождества, мы можем упростить уравнение:

sin(3x) + sqrt(3)(cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)) = 1

sin(3x) + sqrt(3)cos(2x)cos(x) - sqrt(3)sin(2x)sin(x) = 1

(sin(3x) - sqrt(3)sin(2x)sin(x)) + sqrt(3)cos(2x)cos(x) = 1

Четвёртый шаг: решение уравнения

Теперь мы можем разбить уравнение на две части: синусовую и косинусовую.

Синусовая часть: sin(3x) - sqrt(3)sin(2x)sin(x) = 0

Косинусовая часть: sqrt(3)cos(2x)cos(x) = 1

Решим каждую из этих частей по отдельности.

Решение синусовой части уравнения

sin(3x) - sqrt(3)sin(2x)sin(x) = 0

Мы знаем, что sin(A) = 0, если A = n*pi, где n - целое число.

Таким образом, мы можем решить это уравнение, установив:

3x = n*pi, где n - целое число.

Это даст нам значения для x, соответствующие нулевому синусу.

Решение косинусовой части уравнения

sqrt(3)cos(2x)cos(x) = 1

Для решения этого уравнения нам нужно упростить выражение.

Мы знаем, что cos(A) = 1/sqrt(3), если A = pi/6 или A = 11pi/6.

Таким образом, мы можем установить:

2x = pi/6 + 2n*pi, где n - целое число, или 2x = 11pi/6 + 2n*pi, где n - целое число.

Пятый шаг: получение конечных решений

Теперь, чтобы получить конечные решения, мы объединим решения для синусовой и косинусовой частей уравнения.

1. Для синусовой части уравнения: 3x = n*pi, где n - целое число. 2. Для косинусовой части уравнения: 2x = pi/6 + 2n*pi или 2x = 11pi/6 + 2n*pi, где n - целое число.

Окончательный ответ

Таким образом, окончательные решения уравнения sin(3x) + sqrt(3)cos(3x) = 1 могут быть найдены, если мы найдём все значения x, удовлетворяющие обоим условиям:

1. 3x = n*pi, где n - целое число. 2. 2x = pi/6 + 2n*pi или 2x = 11pi/6 + 2n*pi, где n - целое число.

Они будут состоять из комбинаций таких значений x, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно.