Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=| x^{2}-1| y=11-|x|

Answer 1

Без рисунка
при х≤-1 и х≥1, первая функция буде у=х²-1
при -1≤х≤1, она будет у=1-х²
вторая функция, при х≤0 - у=11+х;
при х≥0 у=11-х
вторая функция выше первой, первая всегда ≥0, и =0 при х=-1 и х=+1
обе функции парные:
$y_1=|x^2-1|\\ y_1(x)=|x^2-1|\ \ \ y_1(-x)=|(-x)^2-1|=|x^2-1|=y_1(x);\\ y_2(x)=11-|x|;\ \ y_2(-x)=11-|-x|=11-|x|$
обе фУНКЦИИ ПАРНЫЕ, ПОЭТОМУ их пересечения будут в некой точке х1, и х2=-х1
рассмотрим при х≥0
$y_1=y_2;\\ y=x^2-1=11-x\\ x^2+x-12;\\ D=1+48=49=7^2;\\ x=\frac{-1+7}{2}=3;\\ y_1(3)=|3^2-1|=|9-1|=8;<==>y_2(3)=11-|3|=11-3=8;\\ y_1(-3)=|(-3)^2-1|=|9-1|=|8|=9;<=>y_2(-3)=11-|-3|=8$
интегрирование по промежуткам:
-3≤х≤-1==> y1=x²-1 y2=11+x;
-1≤x≤0==>y1=1-x²; y2=11+x;
0≤x≤1==>y1=1-x²; y2=11-x;
1≤x≤3==>y1=x²-1; y2=11-x;
$I=I_1+I_2+I_3+I_4;\\ I= \int\limits^{-1}_{-3} {\left(11-|x|-|x^2-1|\right)} \, dx \\ I_1= \int\limits^{-1}_{-3} {\left(11+x-x^2+1\right)} \, dx = \int\limits^{-1}_{-3} {\left(12+x-x^2\right)} \, dx=\\ =12x|_{-3}^{-1}+\frac{x^2}{2}|_{-3}^{-1}-\frac{x^3}{3}|_{-3}^{-1}=12(-1+3)+\frac{1-9}{2}-\frac{-1+27}{3}=24-4-\frac{26}{3}\\ =20-\frac{26}{3}=\frac{60-26}{3}=\frac{34}{3};$
$> <img src=$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо определить точки и области пересечения графиков, а затем вычислить интеграл площади между этими графиками.

Определение точек пересечения графиков

Для начала определим точки пересечения графиков функций y=|x^2-1| и y=11-|x|.

Функция y=|x^2-1| - это модуль разности x^2-1, который можно представить в виде двух функций: 1. x^2-1, если x^2-1 >= 0, т.е. x^2 >= 1, что означает x >= 1 или x <= -1. 2. -(x^2-1), если x^2-1 < 0, т.е. x^2 < 1, что означает -1 < x < 1.

Функция y=11-|x| - это модуль разности 11-x, который можно представить в виде двух функций: 1. 11-x, если 11-x >= 0, т.е. x <= 11. 2. -(11-x), если 11-x < 0, т.е. x > 11.

Теперь найдем точки пересечения графиков, решив уравнение |x^2-1| = 11-|x|.

Вычисление площади между графиками

После того, как мы найдем точки пересечения графиков, мы можем вычислить интеграл от разности соответствующих функций по x в пределах от x-координаты одной точки пересечения до x-координаты другой точки пересечения.

Итак, давайте начнем с поиска точек пересечения графиков.