Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=9

Answer 1

$S=\int _{-3}^3(9-x^2)\, dx=2\cdot \int _0^3(9-x^2)\, dx=2\cdot (9x-\frac{x^3}{3})|_0^3=\\\\=2\cdot (27-9)=2\cdot 18=36$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 9, мы должны определить точки пересечения этих двух функций. Затем мы найдем определенный интеграл от функции, которая находится выше и вычитаем определенный интеграл от функции, которая находится ниже.

Для начала, найдем точки пересечения этих двух функций. Приравняем y = x^2 и y = 9:

x^2 = 9

Теперь найдем значения x, при которых это уравнение выполняется. Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

x = ±√9

x = ±3

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-3, 9) и (3, 9).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, мы должны вычислить определенный интеграл от функции, которая находится выше, и вычесть определенный интеграл от функции, которая находится ниже.

Поскольку y = 9 всегда находится выше y = x^2, мы будем вычислять следующий интеграл:

S = ∫[a, b] (9 - x^2) dx

Где a и b - это x-координаты точек пересечения, то есть -3 и 3.

S = ∫[-3, 3] (9 - x^2) dx

Давайте вычислим этот интеграл:

S = [9x - (x^3)/3] |[-3, 3]

S = [(9 * 3 - (3^3)/3) - (9 * -3 - (-3^3)/3)]

S = [27 - 9 - (-27 + 9)]

S = 54

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 9, равна 54 квадратным единицам.