Question

Доказать неравенство х в квадрате +4у в квадрате - 4ху +2х - 4у +3 > 0

Answer 1

$x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3>0;\\ x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3=(x^2-4xy+4y^2)+2(x-2y)+3=\\ =(x^2-2\cdot x\cdot2y+(2y)^2)+(x-2y)+3=(x-2y)^2+2(x-2y)+3=\\ \|x-2y=m\|\\ =m^2+2m+3=m^2+2\cdot m+1^2+2=\\ =(m+1)^2+2=(x-2y+1)^2+2;\\ \forall x,y:(x-2y+1)^2\geq0;\\ \forall x,y:(x-2y+1)^2+2>0==>\\==>x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3>0$