Question

Найти все значения параметра а при каждом из которых множества всех решений неравенства (а-x^2) *(a+x-2)<0 не содержат ни одного решения неравенства x^2 ≤1

Answer 1

$x^2 \leq 1$ 
$|x| \leq 1\\ -1 \leq x \leq 1$

Приравняем к нулю

$(a-x^2)(a+x-2)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

$a-x^2=0\\ x=\pm \sqrt{a}$

Оценим в виде двойного неравенства

$-1 \leq \sqrt{a} \leq 1\\ 0 \leq a \leq 1$

Т.е. при $a \in [0;1]$ - неравенства будут иметь общее решение, значит при $a \in (-\infty;0)\cup(1;+\infty)$ неравенства общих решений не будет иметь

$a+x-2=0\\ x=2-a$

Снова оценим в виде двойного неравенства

$-1 \leq 2-a \leq 1\,\, |-2\\ \\ -3 \leq -a \leq -1|\cdot (-1)\\ \\ 1 \leq a \leq 3$

При $a \in (-\infty;1)\cup(3;+\infty)$ неравенства общих решений не имеют

Общее решение: $a \in (-\infty;0)\cup(3;+\infty)$

Проверим будут ли неравенства иметь решения при a=0 и а=3

Если а=0, то неравенство запишется так $-x^2(x-2)\ \textless \ 0\\ \\ x^2(x-2)\ \textgreater \ 0$

Корни будут х=0 и х=2

___-___(0)__-___(2)__+___

x ∈ (2;+∞) 

Следовательно общих решений с x ∈ [-1;1] нет, значит а=0 подходит

Если а=3, то $(3-x^2)(x+1)\ \textless \ 0$

Приравниваем к нулю:

$(3-x^2)(x+1)=0\\ \left[\begin{array}{ccc}3-x^2=0\\ x+1=0\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_{1,2}=\pm \sqrt{3} \\ x_3=-1\end{array}\right$

___+___(-√3)___-___(-1)___+____(√3)___-___

x ∈ (-√3;-1) U (√3;+∞) 

Общее решение неравенства (3-x²)(x+1)<0 с неравенство x²≤1 нет, следовательно а=3 тоже подходит


Ответ: $a \in (-\infty;0]\cup[3;+\infty)$