Question

Докажите,что при всех допустимых значениях a выражение тождественно равно нулю:(2a+1)/(a^3-1) + (a)/(a^2+a+1) + (1)/(1-a)= Решите пожалуйста очень нужно!!!

Answer 1

$\frac{2a+1}{a^3-1}+ \frac{a}{a^2+a+1} + \frac{1}{1-a} = \frac{2a+1}{((a-1)(a^2+a+1)} + \frac{a}{a^2+a+1} - \frac{1}{a-1}=$
$=\frac{2a+1+a(a-1)-a^2-a-1}{((a-1)(a^2+a+1)}= \frac{2a+a^2-a-a^2-a}{a^3-1}= \frac{0}{a^3-1}=0$
То есть при любых значениях а выражение равно 0, что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что данное выражение тождественно равно нулю при всех допустимых значениях \(a\), давайте рассмотрим заданное выражение:

\[ \frac{2a + 1}{a^3 - 1} + \frac{a}{a^2 + a + 1} + \frac{1}{1 - a} \]

Для начала, давайте приведем все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет \( (a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1) \).

1. Умножим первую дробь на \(\frac{a + 1}{a + 1}\):

\[ \frac{2a + 1}{a^3 - 1} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} = \frac{(2a + 1)(a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)} \]

2. Умножим вторую дробь на \(\frac{a - 1}{a - 1}\):

\[ \frac{a}{a^2 + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} = \frac{a(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)} \]

3. Оставшуюся третью дробь оставим без изменений, так как у нее уже есть общий знаменатель:

\[ \frac{1}{1 - a} \]

Теперь сложим все три дроби:

\[ \frac{(2a + 1)(a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)} + \frac{a(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)} + \frac{1}{1 - a} \]

Объединим числители:

\[ \frac{(2a + 1)(a + 1) + a(a - 1) + (1)(a - 1)(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{2a^2 + 2a + a + 1 + a^2 - a + a^3 + a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)} \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ \frac{a^3 + 4a^2 + 4a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)} \]

Теперь давайте рассмотрим знаменатель:

\[ (a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1) \]

Если вы разложите квадратный трехчлен в этом выражении, вы увидите, что знаменатель равен \( (a - 1)(a^3 - 1) \). Теперь мы можем сократить знаменатель и числитель на \( (a - 1) \):

\[ \frac{a^3 + 4a^2 + 4a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)} = \frac{a^3 + 4a^2 + 4a + 3}{(a - 1)(a^3 - 1)} \]

Теперь давайте разложим числитель на множители:

\[ \frac{a^3 + 4a^2 + 4a + 3}{(a - 1)(a^3 - 1)} = \frac{(a + 1)(a + 1)(a + 3)}{(a - 1)(a^3 - 1)} \]

Мы видим, что числитель можно сократить на \( (a + 1) \):

\[ \frac{(a + 1)(a + 1)(a + 3)}{(a - 1)(a^3 - 1)} = \frac{(a + 3)(a + 1)}{a - 1} \]

Теперь мы видим, что у нас осталось выражение:

\[ \frac{(a + 3)(a + 1)}{a - 1} \]

Это выражение не тождественно равно нулю при всех допустимых значениях \(a\). Например, если \(a = 2\), то значение выражения будет равно \(5\), и оно не равно нулю. Следовательно, исходное выражение не тождественно равно нулю при всех значениях \(a\).