Question

РЕБЯТА,ОЧЕНЬ НУЖНА ВАША ПОМОЩЬ ПО РАБОТЕ! 1)НАЙТИ Скорость изменения функции: y = sin^2 (x/2) - cos^2 (x/2) в точке x0=25pi/2 2)Найдите точки,в которых касательная к графику функции y=x^3/3+3/2x^2-3x+2 составляет с осью абсцисс угол 45 градусов

Answer 1

Держи решение.

-----------------

Answer 2

Давайте решим по порядку.

1) Нахождение скорости изменения функции:

У нас есть функция \(y = \sin^2\left(\frac{x}{2}\) - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)\) и нужно найти скорость изменения этой функции в точке \(x_0 = \frac{25\pi}{2}\).

Сначала найдем производную функции \(y\) по \(x\):

\[ y' = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\]

Упростим:

\[ y' = 4\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)\]

Теперь подставим \(x_0 = \frac{25\pi}{2}\) в \(y'\):

\[ y'_{x_0} = 4\sin\left(\frac{25\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{25\pi}{4}\right)\]

\[ y'_{x_0} = 4\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\]

\[ y'_{x_0} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ y'_{x_0} = 2 \]

Таким образом, скорость изменения функции \(y\) в точке \(x_0 = \frac{25\pi}{2}\) равна 2.

2) Нахождение точек, в которых касательная к графику функции составляет угол 45 градусов с осью абсцисс:

У нас есть функция \(y = \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 2\). Найдем её производную \(y'\):

\[y' = x^2 + 3x - 3\]

Теперь найдем угол между касательной и осью абсцисс. Угол между касательной и осью абсцисс определяется как \(\tan(\theta) = |y'|\). Угол 45 градусов соответствует \(\tan(\theta) = 1\).

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[x^2 + 3x - 3 = 1\]

Перенесем все члены на одну сторону:

\[x^2 + 3x - 4 = 0\]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

\[(x - 1)(x + 4) = 0\]

Отсюда получаем две точки: \(x = 1\) и \(x = -4\).

Таким образом, точки, в которых касательная к графику функции составляет угол 45 градусов с осью абсцисс, это \(x = 1\) и \(x = -4\).