Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y=ln(ex) в точке х=1.

Answer 1

$y(x)=ln(ex)=ln e+ln x=1+ln x$

$y'(x)=(1+ln x)'=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}$

$y(x_o)=y(1)=ln (e*1)=ln e=1$

$y'(x_0)=y'(1)=\frac{1}{1}=1;$

Уравнение касательной

$y=y'(x_o)(x-x_0)+y(x_o);\\\\y=1*(x-1)+1=x-1+1=x;\\\\y=x$

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(y = \ln(e^x)\) в точке \(x = 1\), мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем производную функции \(y = \ln(e^x)\). 2. Подставим значение \(x = 1\) в найденную производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной. 3. Используем найденный угловой коэффициент и точку касания (\(x = 1, y = \ln(e^1) = 1\)) в уравнение прямой.

Давайте выполним эти шаги.

1. Найдем производную функции \(y = \ln(e^x)\): \[y' = \frac{d}{dx}(\ln(e^x))\]

Используем свойство \(\ln(e^x) = x\): \[y' = \frac{d}{dx}(x) = 1\]

Таким образом, производная функции \(y = \ln(e^x)\) равна 1.

2. Подставим \(x = 1\) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной: \[m = y'(1) = 1\]

3. Теперь мы имеем точку касания \((1, 1)\) и угловой коэффициент \(m = 1\). Используем их в уравнение прямой: \[y - y_1 = m(x - x_1)\] \[y - 1 = 1(x - 1)\] \[y = x\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = \ln(e^x)\) в точке \(x = 1\) равно \(y = x\).