Question

Найдите область определения функции y=√(x+1)(5-x)

Answer 1

Решим нер-во
(x + 1)(5 - x) ≥ 0
- (x + 1) (x - 5) ≥ 0
(x + 1)(x - 5) ≤0

x + 1 = 0 ==> x = - 1
x - 5  = 0 ==> x = 5
 
      +                        -                        +
----------   [ - 1]  -------------- [ 5 ] ------------> x 

D(y) = [ - 1; 5] 

Answer 2

Чтобы найти область определения функции y = √(x+1)(5-x), нужно определить значения x, при которых функция определена и имеет смысл.

Одно из условий для определения функции является то, что подкоренное выражение (x+1)(5-x) должно быть неотрицательным, чтобы можно было извлечь из него квадратный корень.

Таким образом, мы должны решить неравенство (x+1)(5-x) ≥ 0.

Для этого неравенства мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых оно выполняется.

Решение неравенства

1. Рассмотрим каждый множитель (x+1) и (5-x) отдельно:

- (x+1) ≥ 0: Здесь мы получаем x ≥ -1. - (5-x) ≥ 0: Здесь мы получаем x ≤ 5.

2. Теперь рассмотрим таблицу знаков:

| Интервал | (x+1) | (5-x) | (x+1)(5-x) | | :----------: | :---: | :---: | :--------: | | x < -1 | - | - | + | | -1 < x < 5 | + | - | - | | x > 5 | + | + | + |

3. Из таблицы знаков видно, что неравенство (x+1)(5-x) ≥ 0 выполняется, когда x ≤ -1 или x ≥ 5.

Область определения функции

Таким образом, область определения функции y = √(x+1)(5-x) состоит из всех значений x, которые удовлетворяют условию x ≤ -1 или x ≥ 5. Математически это можно записать как:

Область определения: (-∞, -1] ∪ [5, +∞)

То есть, функция определена для всех значений x, которые меньше или равны -1, или больше или равны 5.