Question

Найти площадь криволинейной трапеции. y=x^3-3x^2 ; y=x^2-4x

Answer 1

X³-3x²=x²-4x
x³-3x²-x²+4x=0
x(x²-4x+4)=0
x(x-2)²=0
x=0 U x=2
S=$\int\limits^2_0 {(x^3-4x^2+4x)} \, dx =x^4/4-4x^3/3+2x^2|(0;2)=4-32/3+4=4/3$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, заданной двумя кривыми y = x^3 - 3x^2 и y = x^2 - 4x, необходимо вычислить интеграл разности этих функций на заданном отрезке.

Сначала найдем точки пересечения двух кривых. Решим уравнение x^3 - 3x^2 = x^2 - 4x:

x^3 - 3x^2 - x^2 + 4x = 0 x^3 - 4x^2 + 4x = 0 x(x^2 - 4x + 4) = 0 x(x - 2)^2 = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Теперь вычислим площадь криволинейной трапеции по формуле интеграла:

S = ∫[a,b] |f(x) - g(x)| dx,

где a и b - границы отрезка, на котором мы вычисляем площадь, f(x) - верхняя кривая, g(x) - нижняя кривая.

В нашем случае, верхняя кривая f(x) = x^3 - 3x^2, а нижняя кривая g(x) = x^2 - 4x.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна:

S = ∫[0,2] |(x^3 - 3x^2) - (x^2 - 4x)| dx S = ∫[0,2] |x^3 - 3x^2 - x^2 + 4x| dx S = ∫[0,2] |x^3 - 4x^2 + 4x| dx

Теперь распишем интеграл с учетом различных интервалов на отрезке [0,2]:

S = ∫[0,2] (x^3 - 4x^2 + 4x) dx

Рассчитаем этот интеграл:

S = (1/4)x^4 - (4/3)x^3 + 2x^2 |[0,2] S = [(1/4)(2^4) - (4/3)(2^3) + 2(2^2)] - [(1/4)(0^4) - (4/3)(0^3) + 2(0^2)] S = (16/4) - (32/3) + 8 - 0 S = 8 - (32/3) + 8 S = 16 - (32/3) S = (48/3) - (32/3) S = 16/3

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y = x^3 - 3x^2 и y = x^2 - 4x на отрезке [0,2], равна 16/3.