Question

Решите пожалуйста sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0

Answer 1

$\sin(2x) - 10 \sin(x) \cos(x) + 21 \cos(2x) = 0 \\ - 4 \sin(2x) + 21 \cos(2x) = 0 \\ - 4 \sin(2x) = - 21 \cos(2x) \\ - 4 \tan(2x) = - 21 \\ \tan(2x) = \frac{21}{4} \\ 2x = arctg \frac{21}{4} + k\pi \\ x = \frac{arctg( \frac{21}{4} )}{2} + \frac{k\pi}{2}$
K пренадлежит Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться формулами тригонометрии и методом замены переменной.

1) Для удобства заменим обозначение sin(x) = a, cos(x) = b. Тогда уравнение примет вид:

sin(2x) - 10sin(x)cos(x) + 21cos^2(x) = 0

a^2 - 10ab + 21b^2 = 0

2) Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной a:

D = (-10b)^2 - 4 * 21 * b^2 = 100b^2 - 84b^2 = 16b^2

a = (10b ± sqrt(16b^2)) / 2 = 5b ± 4b = b(5 ± 4)

3) Вспомним, что sin(x) = a, cos(x) = b. Получаем две системы уравнений:

а) sin(x) = b(5 + 4) cos(x) = b

б) sin(x) = b(5 - 4) cos(x) = b

4) Решим полученные системы уравнений.

а) sin(x) = 9b cos(x) = b

Используем свойство cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

b^2 + (9b)^2 = 1 b^2 + 81b^2 = 1 82b^2 = 1 b^2 = 1/82 b = ± √(1/82)

Таким образом, получаем два значения для b: b1 = √(1/82) и b2 = -√(1/82).

Подставим значения b1 и b2 в исходные уравнения sin(x) = 9b и cos(x) = b:

x1 = arcsin(9√(1/82)) x2 = π - arcsin(9√(1/82)) x3 = π + arcsin(9√(1/82)) x4 = 2π - arcsin(9√(1/82))

б) sin(x) = b(5 - 4) cos(x) = b

Используем свойство cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

b^2 + (b(5 - 4))^2 = 1 b^2 + b^2 = 1 2b^2 = 1 b^2 = 1/2 b = ± √(1/2)

Таким образом, получаем два значения для b: b3 = √(1/2) и b4 = -√(1/2).

Подставим значения b3 и b4 в исходные уравнения sin(x) = b и cos(x) = b:

x5 = arcsin(√(1/2)) x6 = π - arcsin(√(1/2)) x7 = π + arcsin(√(1/2)) x8 = 2π - arcsin(√(1/2))

Итак, мы получили 8 решений для данного уравнения sin(2x) – 10sin(x)cos(x) + 21cos^2(x) = 0:

x1 = arcsin(9√(1/82)) x2 = π - arcsin(9√(1/82)) x3 = π + arcsin(9√(1/82)) x4 = 2π - arcsin(9√(1/82)) x5 = arcsin(√(1/2)) x6 = π - arcsin(√(1/2)) x7 = π + arcsin(√(1/2)) x8 = 2π - arcsin(√(1/2))