Question

Четыре числа составляют убывающую геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что сумма крайних членов равна 135, а сумма средних членов равна 90

Answer 1

b1+b4 = 135      -->    b1+b1*q3 =135
b2+b3=90          -->    b1q+b1q2 =90
Решим систему.
b1(1+q)(1-q+q2 )=135  (*)
b1*q (1+q) = 90             (**)
разделим (*) на (**):
(1-q+q2 ) /q = 135/90            1-q+q2 =1,5q
q2 -2,5q+1 = 0     |q|<1
q1=2 - не уд. усл |q|<1
q2=0,5 - ответ
Для проверки b1=120,  b2=60, b3=30, b4=15.

Answer 2

Пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.

Тогда четыре числа, составляющие убывающую геометрическую прогрессию, будут следующими: a, aq, aq^2, aq^3.

Сумма крайних членов равна 135: a + aq^3 = 135 (1)

Сумма средних членов равна 90: aq + aq^2 = 90 (2)

Для решения данной системы уравнений найдем выражение для a из уравнения (2) и подставим его в уравнение (1).

Из уравнения (2) выразим a: aq + aq^2 = 90 a(q + q^2) = 90 a = 90 / (q + q^2)

Подставляем найденное выражение для a в уравнение (1): 90 / (q + q^2) + (90 / (q + q^2)) * q^3 = 135 90 + 90q^3 = 135(q + q^2) 90q^3 - 135q - 135q^2 + 135 = 0 2q^3 - 3q - 3q^2 + 3 = 0 (делим обе стороны на 45)

2q^3 - 3q - 3q^2 + 3 = 0

У данного кубического уравнения есть один корень r=1.

Делим уравнение на (q-1): 2q^2 + q + 3 = 0 (3)

Вычисляем дискриминант квадратного уравнения (3): D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*2*3 = 1 - 24 = -23

Так как дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение (3) не имеет действительных корней.

Следовательно, у задачи нет решений.