Question

Сумма второго и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 16, а произведе-ние второго члена на четвертый равно 45. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Answer 1

Запишем условие и будем решать:

$a_2+a_5 = 16 \\ \\ a_2*a_4 = 45 \\ \\ \\ a_1+d + a_1 + 4d = 2a_1 +5d = 16 \\ \\ (a_1+d)*(a_1+3d) = 45 \\ \\ \\ a_1=8-2,5d \\ \\ (8-2,5d+d)*(8-2,5d+3d) = (8-1,5d)*(8-0,5d) = 45 \\ \\ 64 + 4d -12d +0,75d^2 = 45 \\ \\ 0,75d^2 + 8d -19 = 0 \\ \\ 3d^2 +32d -76 = 0 \\ \\ d_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2-3*(-76)} }{3} = \frac{-16 \pm 22}{3}$

Т.к. прогрессия возрастающая, то подходит только положительный корень d = 2. Находим первый член и сумму 10 первых членов:

$a_1=8-2,5d = 8 - 2,5*2 = 3 \\ \\ S_{10} = \frac{2*3+2(10-1)}{2} * 10 = 120$

Ответ: 120

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен \(a\), а разность прогрессии равна \(d\). Тогда второй член будет \(a + d\), пятый член будет \(a + 4d\).

У нас есть два уравнения: 1. \(a + d + a + 4d = 16\) (Сумма второго и пятого членов равна 16) 2. \((a + d) \cdot (a + 4d) = 45\) (Произведение второго и четвертого членов равно 45)

Решим систему уравнений:

Из первого уравнения получаем: \[2a + 5d = 16\] (1)

Из второго уравнения: \[a^2 + 5ad + 4d^2 = 45\] \[a(a + 5d) + 4d(a + 5d) = 45\] \[(a + 4d)(a + 5d) = 45\] \[a + 4d = \frac{45}{a + 5d}\] (2)

Теперь можем решить систему уравнений (1) и (2).

Из (1): \(2a + 5d = 16\) => \(a = \frac{16 - 5d}{2}\)

Подставим \(a\) в (2): \[\frac{16 - 5d}{2} + 4d = \frac{45}{\frac{16 - 5d}{2} + 5d}\] Упростим уравнение и решим его:

\[\frac{16 - 5d + 8d}{2} = \frac{45}{\frac{16 - 5d + 10d}{2}}\] \[\frac{16 + 3d}{2} = \frac{45}{\frac{16 + 5d}{2}}\] \[16 + 3d = \frac{45 \cdot 2}{16 + 5d}\] \[16 + 3d = \frac{90}{16 + 5d}\] \[16 + 3d (16 + 5d) = 90\] \[16(16 + 5d) + 3d(16 + 5d) = 90(16 + 5d)\] \[256 + 80d + 48d + 15d^2 = 1440 + 450d\] \[15d^2 - 370d + 1184 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение.

\[d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[d = \frac{370 \pm \sqrt{370^2 - 4 * 15 * 1184}}{2 * 15}\] \[d = \frac{370 \pm \sqrt{136900 - 71040}}{30}\] \[d = \frac{370 \pm \sqrt{65860}}{30}\] \[d = \frac{370 \pm 256}{30}\]

Так как разность прогрессии не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \[d = \frac{370 + 256}{30} = \frac{626}{30} = \frac{313}{15}\]

Теперь найдем \(a\): \[a = \frac{16 - 5d}{2}\] \[a = \frac{16 - 5 * \frac{313}{15}}{2}\] \[a = \frac{16 - \frac{1565}{15}}{2}\] \[a = \frac{16 * 15 - 1565}{30}\] \[a = \frac{240 - 1565}{30}\] \[a = \frac{-1325}{30}\] \[a = -\frac{265}{6}\]

Теперь у нас есть первый член \(a = -\frac{265}{6}\) и разность прогрессии \(d = \frac{313}{15}\).

Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, используем формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)\).

Для \(n = 10\): \[S_{10} = \frac{10}{2}(2 * \left(-\frac{265}{6}\right) + (10 - 1) * \frac{313}{15})\] \[S_{10} = 5 \left(-\frac{530}{6} + 9 * \frac{313}{15}\right)\] \[S_{10} = 5 \left(-\frac{530}{6} + \frac{2817}{5}\right)\] \[S_{10} = 5 \cdot \frac{4777 - 3180}{30}\] \[S_{10} = 5 \cdot \frac{1597}{30}\] \[S_{10} = \frac{7985}{30}\] \[S_{10} = \frac{1597}{6}\]

Таким образом, сумма первых десяти членов этой арифметической прогрессии равна \(\frac{1597}{6}\).