Question

Помогите пожалуйста решить задачу:при каком значении a в точке с абсциссой x=1 касательная проведенная к графику функции y=x^-ax проходит через точку M(2;3)

Answer 1

Решение
y = x² – ax
x₀ = 1
общее уравнение касательной 
 y= y(x₀) + y`(x₀) * (x– x₀)
y(1) = 1 – a
y` = 2x– a
y`(1) = 2 – a
y = 1 – a+ (2 – a)*(x– 1) =  1 – a+ (2 – a)*x– 2 + a = (2 – a)*x– 1
y = (2 – a)*x–1    уравнение касательной
Касательная проходит через точку М (2;3):
3 – (2 – a) * 2 – 1
3 = 4 – 2a– 1
2a = 0
a = 0
Ответ: a = 0

Answer 2

Для решения задачи, нам нужно найти значение параметра a, при котором касательная, проведенная к графику функции y = x^(-ax) в точке M(2,3), проходит через эту точку.

Нахождение уравнения касательной

Для начала, найдем уравнение касательной к графику функции y = x^(-ax) в произвольной точке (x, y). Для этого воспользуемся производной функции.

Функция y = x^(-ax) может быть переписана в виде y = e^(-ax * ln(x)), где e - основание натурального логарифма.

Найдем производную функции y = e^(-ax * ln(x)): y' = (-ax * ln(x))' * e^(-ax * ln(x))

Производная (-ax * ln(x))' может быть найдена с помощью правила производной произведения: (-ax * ln(x))' = -a * ln(x) - ax * (ln(x))' = -a * ln(x) - ax * (1/x) = -a * ln(x) - a

Теперь, подставим найденное значение производной в уравнение касательной: y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки на графике функции, а m - значение производной в этой точке.

Подстановка значений и решение уравнения

Теперь, подставим значения x1 = 2 и y1 = 3 в уравнение касательной: y - 3 = (-a * ln(x) - a)(x - 2)

Таким образом, у нас получилось уравнение касательной, которое зависит от параметра a.

Нахождение значения параметра a

Для нахождения значения параметра a, подставим координаты точки M(2,3) в уравнение касательной и решим полученное уравнение относительно a.

3 - 3 = (-a * ln(2) - a)(2 - 2)

Уравнение упрощается до: 0 = -a * ln(2) - a

Факторизуем уравнение: 0 = a * (1 + ln(2))

Таким образом, получаем два возможных значения для параметра a: 1. a = 0 2. 1 + ln(2) = 0

Ответ

Таким образом, при значениях параметра a = 0 и a = -1 - ln(2), касательная, проведенная к графику функции y = x^(-ax) в точке M(2,3), проходит через эту точку.

Пожалуйста, обратите внимание, что второе значение a = -1 - ln(2) было получено путем решения уравнения и может быть округлено до нужной точности.