Question

Cos6x+cos5x=sinx найти корни

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Чтобы решить уравнение cos(6x) + cos(5x) = sin(x) и найти его корни, воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами функций.

Сначала приведем уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию:

cos(6x) + cos(5x) = sin(x)

Перепишем каждую функцию cos(x) с помощью формулы Эйлера:

Re(e ^(ix)) + Re(e^(i5x)) = Im(e^(ix))

e ^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

Теперь заменим cos(x) и sin(x) в уравнении:

Re(e^(i6x)) + Re(e^(i5x)) = Im(e^(ix))

Так как Re(e^(ix)) = Re(e^(-ix)), и Im(e^(ix)) = - Im(e^(-ix)), то опуская знаки Re и Im, мы получим:

e^(i6x) + e^(i5x) = -e^(ix)

Перепишем уравнение, используя формулу Эйлера для экспоненты:

cos(6x) + i*sin(6x) + cos(5x) + i*sin(5x) = -cos(x) - i*sin(x)

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части в левой и правой частях уравнения:

cos(6x) + cos(5x) + cos(x) = -sin(6x) - sin(5x) - sin(x)

Теперь используем формулу сложения косинусов и синусов:

2*cos((6x + x)/2)*cos((6x - x)/2) + 2*cos((5x - x)/2)*cos((5x + x)/2) = -2*sin((6x + x)/2)*sin((6x - x)/2) - 2*sin((5x - x)/2)*sin((5x + x)/2)

cos(3x)*cos(5x) + cos(2x)*cos(6x) = -sin(3x)*sin(5x) - sin(2x)*sin(6x)

Мы получили новое уравнение, содержащее только произведение тригонометрических функций. Продолжим решение.

Заметим, что если угол у синуса и косинуса разный, то произведение равно нулю, поэтому:

cos(3x) = sin(6x) = sin(3x) = 0

cos(5x) = sin(2x) = 0

Решим каждое из уравнений:

1) Для cos(3x) = 0:

cos(3x) = 0

Тригонометрическая функция равна нулю, когда аргумент является кратным pi/2. Поэтому:

3x = pi/2 + k*pi, где k - целое число

x = (pi/6 + k*pi/3), где k - целое число

2) Для sin(6x) = 0:

sin(6x) = 0

Аналогично, sin(6x) равен нулю, когда аргумент является кратным pi:

6x = k*pi, где k - целое число

x = (k*pi)/6, где k - целое число

3) Для sin(3x) = 0:

sin(3x) = 0

Аргумент sin(3x) равен нулю, когда аргумент является кратным pi:

3x = k*pi, где k - целое число

x = (k*pi)/3, где k - целое число

4) Для cos(5x) = 0:

cos(5x) = 0

Аргумент cos(5x) равен нулю, когда аргумент является кратным pi/2:

5x = (pi/2) + k*pi, где k - целое число

x = ((pi/2) + k*pi)/5, где k - целое число

5) Для sin(2x) = 0:

sin(2x) = 0

Аналогично, sin(2x) равен нулю, когда аргумент является кратным pi:

2x = k*pi, где k - целое число

x = (k*pi)/2, где k - целое число

Таким образом, мы получили следующие корни уравнения cos(6x) + cos(5x) = sin(x):

x = (pi/6 + k*pi/3), (k*pi)/6, ((pi/2) + k*pi)/5, (k*pi)/3, (k*pi)/2,

где k - целое число.