Question

Sqrt -обозначает корень Помогите, пожалуйста, решить иррациональное неравенство: sqrt(x +3) < sqrt(7 -x) + sqrt(10 -x)

Answer 1

Главное, не забывать про ОДЗ:)

Answer 2

Давайте решим данное иррациональное неравенство. Исходное неравенство выглядит следующим образом:

\[ \sqrt{x + 3} < \sqrt{7 - x} + \sqrt{10 - x} \]

Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней. Помним, что при этом мы можем потерять некоторые решения, так что в конце процесса нужно будет проверить полученные корни и убедиться, что они удовлетворяют исходному неравенству.

Возводим в квадрат:

\[ (\sqrt{x + 3})^2 < (\sqrt{7 - x} + \sqrt{10 - x})^2 \]

\[ x + 3 < 7 - x + 2\sqrt{(7 - x)(10 - x)} + 10 - x \]

Теперь упростим выражение:

\[ 2x + 3 < 2\sqrt{(7 - x)(10 - x)} + 17 \]

Вычитаем 3 и выражение \(2x\) из обеих сторон:

\[ 0 < 2\sqrt{(7 - x)(10 - x)} + 14 \]

Вычитаем 14:

\[ -14 < 2\sqrt{(7 - x)(10 - x)} \]

Делим обе стороны на 2:

\[ -7 < \sqrt{(7 - x)(10 - x)} \]

Теперь возводим обе стороны в квадрат снова. Помним, что мы делим на отрицательное число, поэтому направление неравенства меняется.

\[ 49 > (7 - x)(10 - x) \]

Раскрываем скобки:

\[ 49 > 70 - 17x + x^2 \]

Упрощаем уравнение:

\[ x^2 - 17x + 21 < 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы видим, что уравнение имеет положительный коэффициент при \(x^2\), поэтому ветви параболы будут направлены вверх, и график пересекает ось x. Найдем корни уравнения:

\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 21}}{2} \]

\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 84}}{2} \]

\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{205}}{2} \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x = \frac{17 + \sqrt{205}}{2} \]

\[ x = \frac{17 - \sqrt{205}}{2} \]

Теперь нужно определить интервалы значений x, при которых неравенство \(x^2 - 17x + 21 < 0\) выполняется. Мы знаем, что уравнение имеет два корня, и наш ответ будет в виде интервала:

\[ \frac{17 - \sqrt{205}}{2} < x < \frac{17 + \sqrt{205}}{2} \]

Таким образом, решение иррационального неравенства \( \sqrt{x + 3} < \sqrt{7 - x} + \sqrt{10 - x} \) это:

\[ \frac{17 - \sqrt{205}}{2} < x < \frac{17 + \sqrt{205}}{2} \]