Question

Найти корень уравнения 5log3x-9√log3x-2=0

Answer 1

Давайте решим уравнение шаг за шагом. Уравнение имеет вид:

\[5 \log_3{x} - 9\sqrt{\log_3{x}} - 2 = 0\]

Давайте введем замену для удобства. Обозначим \(\sqrt{\log_3{x}}\) как \(u\). Тогда:

\[5u^2 - 9u - 2 = 0\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

\[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где у нас есть \(a = 5\), \(b = -9\), и \(c = -2\).

\[u = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(5)(-2)}}{2(5)}\]

\[u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{10}\]

\[u = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{10}\]

\[u = \frac{9 \pm 11}{10}\]

Таким образом, у нас есть два значения \(u\):

1. \(u_1 = \frac{9 + 11}{10} = 2\) 2. \(u_2 = \frac{9 - 11}{10} = -\frac{1}{5}\)

Теперь мы можем восстановить значение \(\sqrt{\log_3{x}}\):

1. Для первого случая: \(\sqrt{\log_3{x}} = 2\). Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(\log_3{x} = 4\). Теперь применяем определение логарифма: \(3^4 = x\), следовательно, \(x = 81\).

2. Для второго случая: \(\sqrt{\log_3{x}} = -\frac{1}{5}\). Это уравнение не имеет решения, так как логарифм от \(x\) всегда неотрицателен.

Итак, у уравнения \(5 \log_3{x} - 9\sqrt{\log_3{x}} - 2 = 0\) есть одно решение: \(x = 81\).