Question

Решите иррациональное уравнение х=1+√х+11

Answer 1

X-#x-12=0;
D=1+4*1*12=49;
#x(1)=(1+7)/2=4; x=16
#x(2)=(1-7)/2=-3<0, не подходит.
Ответ: x=16, где символ # обозначает квадратный корень.

Answer 2

Для решения иррационального уравнения \(x = 1 + \sqrt{x + 11}\), давайте последовательно выполним несколько шагов.

1. Перенос всех членов уравнения в одну сторону:

\(x - 1 = \sqrt{x + 11}\)

2. Возвести обе стороны в квадрат (это необходимо избавиться от корня):

\((x - 1)^2 = x + 11\)

Раскроем квадрат слева:

\(x^2 - 2x + 1 = x + 11\)

3. Перенос всех членов в одну сторону:

\(x^2 - 3x - 10 = 0\)

4. Решение квадратного уравнения:

Используем квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -10\).

Дискриминант (\(D\)) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\):

\(D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49\)

Дискриминант положителен, что означает, что у нас есть два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2}\)

Таким образом, получаем два корня:

\(x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2\)

Теперь нужно проверить оба корня, подставив их в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они удовлетворяют исходному условию \(x = 1 + \sqrt{x + 11}\). Подстановка обоих корней подтверждает, что только \(x = 5\) является решением исходного иррационального уравнения.