Question

Соs²α+cos²β=1 доказать свойство

Answer 1

Доказать так доказать!

Answer 2

Конечно, это интересное свойство тригонометрических функций! Давайте начнем с изучения тождества для \( \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1 \).

Мы знаем, что тригонометрический косинус для угла \(\alpha\) (обозначим его как \( \cos \alpha \)) представляет собой отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, а для угла \(\beta\) (обозначим как \( \cos \beta \)) - также отношение прилежащего катета к гипотенузе в другом прямоугольном треугольнике.

Теперь, когда у нас есть эти определения, давайте посмотрим на квадраты этих функций: \( \cos^2 \alpha \) и \( \cos^2 \beta \). Если сложить их вместе, то получим:

\[ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta \]

Согласно основному тригонометрическому тождеству, которое выглядит как \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \) для любого угла \( \theta \), мы знаем, что сумма квадратов косинуса и синуса любого угла равна 1.

Теперь, если мы вспомним, что синусы и косинусы связаны с соответствующими углами в прямоугольном треугольнике по формуле Пифагора \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), то можем заметить, что подстановка \(\alpha\) и \(\beta\) вместо \(\theta\) даст нам:

\[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 \]

Поскольку \( \sin^2 \alpha \) и \( \sin^2 \beta \) в сумме дают 1, то если из первого уравнения вычесть \( \sin^2 \alpha \), а из второго - \( \sin^2 \beta \), мы получим исходное утверждение:

\[ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1 \]

Таким образом, данное свойство является результатом основного тригонометрического тождества и связи между косинусами и синусами углов прямоугольных треугольников.