Question

решите неравенство f(x)<0, если f(x)=-x^3+3x^2-4

Answer 1

f(x)=x³+3x²-4=(x³+2x²)+(x²-4)=x²(x+2)+(x+2)(x-2)=(x+2)(x²+x-2)=(x+2)(x+2)(x-1)=(x+2)²(x-1)<0.

x²+x-2=0,   

x₁=-2, x₂=1                                                    -                   -                     +

 

 Решаем методом интервалов        ---------(-2)-----------(1)---------------    

Ответ: х∈(-∞;-2)∨(-2;1)

 

 

 

 

Answer 2

Для решения неравенства f(x) < 0, где f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4, нужно найти значения x, при которых f(x) меньше нуля.

Сначала найдем значения х, при которых f(x) равно нулю. Для этого мы приравниваем уравнение f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4 к нулю и решаем это уравнение:

-x^3 + 3x^2 - 4 = 0

Можно попробовать разложить выражение по сумма двух кубов:

-(x^3 - 3x^2 + 2) = 0

Формула для разности кубов гласит: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Применяя эту формулу, получим:

-(x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0

Теперь решим уравнение (x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0.

Видим, что одно из решений - (x-1) = 0, откуда x = 1.

Теперь найдем оставшиеся решения, решая уравнение x^2 - 2x - 2 = 0. Используем квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-2) = 4 + 8 = 12

Так как D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня:

x = (-(-2) + √12) / (2*1) = (2 + 2√3) / 2 = 1 + √3

x = (-(-2) - √12) / (2*1) = (2 - 2√3) / 2 = 1 - √3

Таким образом, у нас получено три точки: x = 1, x = 1 + √3, x = 1 - √3.

Теперь построим числовую прямую и пометим эти точки на ней:

-----------o-----o-----o---------------

1-√3 1 1+√3

Теперь анализируем неравенство f(x) < 0 на каждом из интервалов числовой прямой.

1. Если x < 1-√3, то f(x) < 0. При этом f(x) является кубической функцией с отрицательным коэффициентом при старшей степени x, поэтому f(x) будет убывать на отрезке (-∞, 1-√3).

2. Если 1-√3 < x < 1, то f(x) > 0. В этом интервале функция f(x) будет возрастать.

3. Если 1 < x < 1+√3, то f(x) < 0. Функция f(x) снова будет убывать.

4. Если x > 1+√3, то f(x) > 0. Функция f(x) будет возрастать.

Таким образом, неравенство f(x) < 0 выполняется для всех x на интервалах (-∞, 1-√3) и (1, 1+√3).

Полученное решение неравенства можно записать в виде:

x ∈ (-∞, 1-√3) ∪ (1, 1+√3)