Question

Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии 6; 2; 2/3

Answer 1

$b_1=6;b_2=2;b_3=\frac{2}{3}$
$q=\frac{b_2}{b_1}=2:6=\frac{1}{3}$
$S_n=\frac{b_1}*\frac{1-q^n}{1-q}$
$S_{10}=6*\frac{1-(\frac{1}{3})^{10}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3^{10}-1}{3^8}$

Answer 2

Для нахождения суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой:

\[ S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}, \]

где: - \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, - \(a\) - первый член прогрессии, - \(r\) - знаменатель прогрессии (отношение любого члена к предыдущему), - \(n\) - количество членов прогрессии, сумму которых мы хотим найти.

В данном случае у нас геометрическая прогрессия с первым членом \(a = 6\) и знаменателем \(r = \frac{2}{3}\). Мы хотим найти сумму первых 10 членов (\(n = 10\)).

Подставим значения в формулу:

\[ S_{10} = 6 \cdot \frac{{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{10}}}{{1 - \frac{2}{3}}} \]

Теперь рассчитаем это числовое значение:

\[ S_{10} = 6 \cdot \frac{{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{10}}}{{1/3}} \]

\[ S_{10} = 6 \cdot \frac{{1 - \frac{1024}{59049}}}{{1/3}} \]

\[ S_{10} = 6 \cdot \frac{{59049 - 1024}}{{1/3 \cdot 59049}} \]

\[ S_{10} = 6 \cdot \frac{{58025}}{{19683}} \]

\[ S_{10} \approx 17.94 \]

Таким образом, сумма первых 10 членов данной геометрической прогрессии примерно равна 17.94.