Question

2\sqrt{5-x^2}=x-14^x-3*12^x>0logx_{2}(x^2-13x+30)<3

Answer 1

///////////////////////////////////////////////

Answer 2

1) Решим уравнение 2√(5-x^2) = x - 14:

2√(5-x^2) = x - 14

Для начала, заметим, что корень √(5-x^2) будет реален только при условии, что выражение 5-x^2 ≥ 0. Это означает, что -√5 ≤ x ≤ √5.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(2√(5-x^2))^2 = (x - 14)^2

4(5 - x^2) = (x - 14)^2

20 - 4x^2 = x^2 - 28x + 196

5x^2 - 28x + 176 = 0

Данное квадратное уравнение имеет два решения:

x1 ≈ 2.37 x2 ≈ 14.97

Однако, мы знаем, что -√5 ≤ x ≤ √5. Поэтому корень x1 не подходит, так как он не удовлетворяет этому условию. Таким образом, решение уравнения будет x2 ≈ 14.97.

2) Рассмотрим неравенство x - 14^x - 3*12^x > 0.

Для удобства, заменим переменную 12^x на t:

x - 14^x - 3t > 0

Так как 12^x > 0 для любого x, то неравенство можно переписать следующим образом:

x - 14^x - 3t > 0 x - 14^x > 3t

Теперь рассмотрим графики функций f(x) = x - 14^x и g(t) = 3t:

Построим график функции f(x).

Чтобы проанализировать поведение функции f(x), найдем ее производную:

f'(x) = 1 - 14^x * ln(14)

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

1 - 14^x * ln(14) = 0

14^x * ln(14) = 1

x * ln(14) = ln(1/14)

x = ln(1/14) / ln(14)

Подставим значение x в функцию f(x):

f(ln(1/14) / ln(14)) ≈ -0.8603

Заметим, что функция f(x) монотонно возрастает на интервале (-∞, ln(1/14) / ln(14)) и монотонно убывает на интервале (ln(1/14) / ln(14), +∞). То есть, функция принимает отрицательные значения на (−∞, ln(1/14) / ln(14)) и положительные значения на (ln(1/14) / ln(14), +∞).

Теперь рассмотрим функцию g(t) = 3t. Она является прямой, которая проходит через начало координат и имеет положительный наклон.

Теперь соединим все воедино.

Так как x - 14^x > 3t, то на интервалах, где функция f(x) принимает положительные значения, неравенство будет удовлетворено. Однако, для того чтобы ответить более точно, необходимо знать значения переменной t.

Если 12^x > 0, значит число t > 0. То есть, неравенство будет удовлетворено на интервалах, где f(x) > 0.

Таким образом, для решения данного неравенства нужно найти значения x, для которых f(x) > 0 на интервале (-∞, ln(1/14) / ln(14)) и на интервале (ln(1/14) / ln(14), +∞).

3) Решим неравенство logx₂(x² - 13x + 30) < 3.

Чтобы применить свойства логарифмов, перепишем неравенство в эквивалентной форме:

x² - 13x + 30 < 2^3

x² - 13x + 30 < 8

x² - 13x + 22 < 0

Перенесем все в левую часть и приведем это квадратное уравнение к понятному виду:

x² - 13x + 22 = 0

Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

D = (-13)² - 4(1)(22)

D = 169 - 88

D = 81

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два вещественных корня:

x₁ = (-b + √D) / 2a x₂ = (-b - √D) / 2a

x₁ = (13 + √81) / 2 x₂ = (13 - √81) / 2

x₁ = (13 + 9) / 2 x₂ = (13 - 9) / 2

x₁ = 11 x₂ = 2

Однако, в данном неравенстве мы ищем значения x, при которых x² - 13x + 22 < 0.

Графически представим это квадратное уравнение:

Функция f(x) = x² - 13x + 22 является параболой, которая направлена вверх и пересекает ось абсцисс в точках x = 2 и x = 11.

Так как нам нужны значения x, при которых f(x) < 0, то решением данного неравенства будут точки, находящиеся между точками пересечения с осью абсцисс. То есть, x принадлежит интервалу (2, 11).

Таким образом, решение неравенства log₂(x² - 13x + 30) < 3 будет интервал (2, 11).