Question

Найдите точку максимума функции y = (7-x)e^x+7

Answer 1

Решение
y = (7-x)e^x+7
Находим первую производную функции:
y' = (-x+7)*e^x - e^x
или
y' = (- x+6)*e^x
Приравниваем ее к нулю:
(-x+6)e^x = 0
e^x ≠ 0
6 - x = 0
x = 6
Вычисляем значения функции 
f(6) = 7 + e⁶
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = (-x+7)*e^x - 2*e^x
или
y'' = (-x+5)*e^x
Вычисляем:
y''(6) = - e⁶ < 0 - значит точка x = 6 точка максимума функции.

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции y = (7-x)e^x + 7, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции y по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций:

d/dx [(7-x)e^x + 7] = d/dx (7-x)e^x + d/dx 7

Так как производная постоянной равна нулю, то упростим выражение:

d/dx (7-x)e^x = e^x - xe^x

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

e^x - xe^x = 0

Вынесем e^x за скобку:

e^x (1 - x) = 0

Так как e^x всегда положительно, то уравнение будет равно нулю только при x = 1.

Теперь найдем значение y в точке x = 1:

y = (7-1)e^1 + 7 = 6e + 7

Таким образом, точка максимума функции y = (7-x)e^x + 7 находится при x = 1 и y = 6e + 7.