Question

1) решить уравнение log2 (- x) = 5. 2) решить уравнениеlg (x2 - x) = 1- lg 5 3)Сколько корней имеет уравнение lg (x4 - 10x2)= lg3x3? 4) решить уравнениеlog 6 (x - 2) + log6 (x- 1) = 1 и указать промежуток, котором принадлежит его корень.

Answer 1

1)log2 (- x) = 5.
-x=32
2) решить уравнениеlg (x2 - x) = 1- lg 5
                                      lg(x^2-x)=1-0.7=0.3
                                       x^2-x=2
                                        x(x+1)=2
                                         2/x-x=1
                                          x=-1
3)Сколько корней имеет уравнение lg (x4 - 10x2)= lg3x3
                                          lg(x^4)-lg(x^2)-lg(3)*lg(x^3)=0
                                          ( -log(10)lg^4+lgx^3+log(10)lgx^2 )/log^2(10)=0
                                           log(x)=0
                                            x=1
                                        
                                                             

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди:

1) Решение уравнения \( \log_2(-x) = 5 \):

Начнем с переписывания уравнения в эквивалентной форме:

\[ 2^5 = -x \]

\[ 32 = -x \]

Теперь умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

\[ x = -32 \]

Таким образом, уравнение имеет единственный корень: \( x = -32 \).

2) Решение уравнения \( \lg(x^2 - x) = 1 - \lg 5 \):

Перепишем уравнение, используя свойство логарифма:

\[ \lg(x^2 - x) + \lg 5 = 1 \]

Теперь используем свойство логарифма, согласно которому \( \lg a + \lg b = \lg(ab) \):

\[ \lg(5(x^2 - x)) = 1 \]

Теперь применим определение логарифма:

\[ 5(x^2 - x) = 10 \]

Раскроем скобки:

\[ 5x^2 - 5x = 10 \]

Приведем подобные члены:

\[ 5x^2 - 5x - 10 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Результат может быть найден с использованием формулы квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 5, b = -5, c = -10 \).

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(5)(-10)}}{2(5)} \]

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 200}}{10} \]

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{225}}{10} \]

\[ x = \frac{5 \pm 15}{10} \]

Таким образом, получаем два значения:

\[ x_1 = 2 \]

\[ x_2 = -\frac{1}{2} \]

3) Решение уравнения \( \lg(x^4 - 10x^2) = \lg(3x^3) \):

Сначала уберем логарифмы, применив эквивалентность:

\[ x^4 - 10x^2 = 3x^3 \]

Теперь приведем все члены к одной стороне:

\[ x^4 - 10x^2 - 3x^3 = 0 \]

Разделим уравнение на \( x^2 \) (учтем, что \( x \) не равен 0, так как логарифм от 0 не определен):

\[ x^2 - 10 - 3x = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]

Решение можно найти с использованием формулы квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1, b = -3, c = -10 \).

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm 7}{2} \]

Таким образом, получаем два значения:

\[ x_1 = 5 \]

\[ x_2 = -2 \]

4) Решение уравнения \( \log_6 (x - 2) + \log_6 (x - 1) = 1 \):

Используем свойство логарифма \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \):

\[ \log_6((x - 2)(x - 1)) = 1 \]

Теперь применим определение логарифма:

\[ (x - 2)(x - 1) = 6^1 \]

\[ (x - 2)(x - 1) = 6 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 3x + 2 = 6 \]

Переносим все члены на одну сторону:

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Таким образом, получаем два значения:

\[ x_1 = 4 \]

\[ x_2 = -1 \]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x = 4 \) и \( x = -1 \).

Это решение может быть уточнено, учитывая ограничения логарифмических функций и квадратных корней, чтобы исключить некоторые из найденных значений в зависимости от контекста и области определения.