Question

последовательность задана рекуррентно. задать ее формулой n-го члена:a₁=3, a n+₁ = 3a n (n - нижний индекс)

Answer 1

b_(n+1)=qb_n - геометрическая прогрессия

q=3

a_n=a_1*q^(n-1)

a_n=3*3^(n-1)

a_n=3^n

Answer 2

Рекуррентная последовательность и формула для n-го члена

Рекуррентная последовательность представляет собой последовательность чисел, где каждый член последовательности вычисляется на основе предыдущих членов с помощью некоторой формулы или правила. В данном случае, заданная рекуррентная последовательность имеет следующие условия:

- a₁ = 3 (первый член равен 3) - aₙ₊₁ = 3aₙ + n (следующий член равен утроенному предыдущему члену, увеличенному на значение n)

Наша задача состоит в том, чтобы найти формулу для вычисления n-го члена данной последовательности.

Поиск формулы для n-го члена

Для того чтобы найти формулу для n-го члена, мы можем использовать метод математической индукции.

1. Базовый случай: Проверим формулу для первого члена: - a₁ = 3 (задано) 2. Предположение индукции: Пусть для некоторого k-го члена формула выполняется: - aₖ = 3aₖ₋₁ + k 3. Индукционный шаг: Докажем, что формула выполняется и для (k+1)-го члена: - aₖ₊₁ = 3aₖ + (k+1) (по условию рекуррентной последовательности) - aₖ₊₁ = 3(3aₖ₋₁ + k) + (k+1) (подставляем предположение индукции) - aₖ₊₁ = 9aₖ₋₁ + 3k + k + 1 - aₖ₊₁ = 9aₖ₋₁ + 4k + 1 Таким образом, мы доказали, что если формула выполняется для k-го члена, то она выполняется и для (k+1)-го члена. Значит, формула должна выполняться для всех n-членов последовательности.

Формула для n-го члена

Используя полученные результаты, можем записать формулу для n-го члена последовательности:

- aₙ = 9aₙ₋₁ + 4(n-1) + 1

Таким образом, данная формула позволяет вычислять любой член рекуррентной последовательности, зная предыдущий член.