Question

Cos(180+x)+sqrt3*cos(270+x)=2cos(90+2x)

Answer 1

-cosx+√3sinx=-2sin2x
2(√3/2sinx-1/2cosx)=2sin2x
sin(x-π/6)=sin2x
sin2x-sin(x-π/6)=0
2sin(x/2+π/12)cos(3x/2-π/12)=0
sin(x/2+π/12)=0⇒x/2+π/12=πn⇒x/2=-π/12+πn⇒x=-π/6+2ππn,n∈Z
cos(3x/2-π/12)=0⇒3x/2-π/12=π/2+πk⇒3x/2=7π/12+πk⇒x=7π/18+2πk/3,k∈Z

Answer 2

Конечно, для решения данного уравнения используется тригонометрические тождества и свойства косинуса:

У нас дано уравнение: \(\cos(180 + x) + \sqrt{3} \cdot \cos(270 + x) = 2 \cdot \cos(90 + 2x)\).

Начнем с преобразования каждого из косинусов в более простые формы, используя тригонометрические тождества:

1. \(\cos(180 + x)\) может быть преобразован следующим образом: \(\cos(180 + x) = -\cos(x)\). 2. \(\cos(270 + x)\) может быть преобразован следующим образом: \(\cos(270 + x) = -\sin(x)\) (так как \(\cos(270 + x) = \sin(90 - x)\), а \(\sin(90 - x) = \cos(x)\)). 3. \(\cos(90 + 2x)\) может быть преобразован следующим образом: \(\cos(90 + 2x) = -\sin(2x)\) (так как \(\cos(90 + 2x) = \sin(90 - 2x)\), а \(\sin(90 - 2x) = \cos(2x)\)).

Подставим эти значения в исходное уравнение:

\(-\cos(x) + \sqrt{3} \cdot (-\sin(x)) = 2 \cdot (-\sin(2x))\)

Умножим каждое слагаемое на \(-1\), чтобы избавиться от отрицательных знаков:

\(\cos(x) - \sqrt{3} \cdot \sin(x) = -2 \cdot \sin(2x)\)

Затем воспользуемся тригонометрическим тождеством для \(\sin(2x)\):

\(\sin(2x) = 2\sin(x)\cdot \cos(x)\)

Подставим это обратно в уравнение:

\(\cos(x) - \sqrt{3} \cdot \sin(x) = -2 \cdot (2\sin(x)\cdot \cos(x))\)

Упростим это уравнение:

\(\cos(x) - \sqrt{3} \cdot \sin(x) = -4\sin(x)\cdot \cos(x)\)

Теперь преобразуем это уравнение, выразив одну из функций через другую:

\(\cos(x) + 4\sin(x)\cdot \cos(x) - \sqrt{3}\cdot \sin(x) = 0\)

Вынесем общий множитель \(\cos(x)\):

\(\cos(x)(1 + 4\sin(x)) - \sqrt{3}\cdot \sin(x) = 0\)

Теперь разделим обе части уравнения на \(\cos(x)\) (учтем, что \(\cos(x) \neq 0\), так как \(\cos(180 + x) \neq 0\)):

\(1 + 4\sin(x) - \frac{\sqrt{3}\cdot \sin(x)}{\cos(x)} = 0\)

Используем тригонометрическое тождество \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):

\(1 + 4\sin(x) - \sqrt{3}\cdot \tan(x) = 0\)

Это уравнение можно решить для \(x\), используя методы решения тригонометрических уравнений или численные методы, так как оно нелинейное и не имеет простого аналитического решения.