Question

Найдите наибольшие и наименьшее значение функции: y=3x пятой степени -5x третей степени +1 (-2;2)

Answer 1

$y=3x^5-5x^3+1 \\ y'=15x^4-15x^2 \\ \\ 15x^4-15x^2=0 |:15\\ x^4-x^2=0 \\ x^2(x^2-1)=0 \\ \\ x^2=0 \\ x=0 \\ \\ x^2-1=0 \\ x^2=1 \\ x=б1$

$y(0)=3*0^5-5*0^3+1=1 \\ y(-1)=3*(-1)^5-5*(-1)^3+1=-3+5+1=3 \\ y(1)=3*1^5-5*1^3+1=3-5+1=-1$

Ответ: $y$наим.$=-1$ ; $y$наиб.$=3$

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать метод дифференцирования для нахождения экстремумов функции.

Функция y = 3x^5 - 5x^3 + 1 имеет пятую степень и третью степень для каждого слагаемого. Для нахождения экстремумов, мы можем найти производную функции и приравнять ее к нулю. Это позволит нам найти точки, где функция может достигать максимума или минимума.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y = 3x^5 - 5x^3 + 1. Производная функции позволяет нам найти скорость изменения функции в каждой точке.

Производная функции y по x будет равна: dy/dx = 15x^4 - 15x^2

Нахождение критических точек

Для найти критические точки, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

15x^4 - 15x^2 = 0

Мы можем вынести 15x^2 из обоих слагаемых: 15x^2(x^2 - 1) = 0

Это уравнение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1) 15x^2 = 0 => x = 0 2) x^2 - 1 = 0 => x = ±1

Таким образом, у нас есть три критические точки: x = -1, x = 0 и x = 1.

Анализ экстремумов

Теперь мы можем проанализировать значения функции в каждой из критических точек, чтобы определить, являются ли они максимумами или минимумами.

Для этого, мы можем подставить значения x в исходную функцию и вычислить соответствующие значения y.

Для x = -1: y = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 + 1 = -3 - 5 + 1 = -7

Для x = 0: y = 3(0)^5 - 5(0)^3 + 1 = 1

Для x = 1: y = 3(1)^5 - 5(1)^3 + 1 = 3 - 5 + 1 = -1

Таким образом, наша функция имеет максимум в точке (-1, -7) и минимум в точке (1, -1).

Ответ

Наибольшее значение функции y = 3x^5 - 5x^3 + 1 равно -7 и достигается в точке (-1, -7). Наименьшее значение функции равно -1 и достигается в точке (1, -1).