Question

Знайти площу фігури яка обмежена кривою у=х^3,лініями х=-1;х=2 і віссю OX

Answer 1

$S= \int\limits {x^3} \, dx =x^4/4|2-(-1)=4-1/4$=3 3/4

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х^3, линиями х = -1, х = 2 и осью OX, мы можем использовать интеграл.

Найдем точки пересечения кривой у = х^3 с линиями х = -1 и х = 2.

Подставим значения х = -1 и х = 2 в уравнение кривой: 1. Для х = -1: у = (-1)^3 = -1 2. Для х = 2: у = 2^3 = 8

Таким образом, точки пересечения кривой с линиями х = -1 и х = 2 имеют координаты (-1, -1) и (2, 8) соответственно.

Теперь мы можем нарисовать график фигуры и определить площадь, используя интеграл.


Видим, что фигура ограничена кривой у = х^3, линиями х = -1, х = 2 и осью OX. Площадь этой фигуры можно найти, вычислив определенный интеграл.

Для этого мы можем разбить фигуру на две части: одну часть между кривой и линией х = -1, и другую часть между кривой и линией х = 2.

Вычислим площадь первой части фигуры:

Для этой части фигуры, у нас будет интеграл от функции х^3 в пределах от -1 до 2:

∫[от -1 до 2] (х^3) dx

Интегрируем функцию х^3: ∫(х^3) dx = (х^4)/4 + C

Вычислим значение интеграла в пределах от -1 до 2: [(2^4)/4 - ((-1)^4)/4] = (16/4 - 1/4) = 15/4

Вычислим площадь второй части фигуры:

Для этой части фигуры, у нас будет интеграл от функции х^3 в пределах от 0 до 2:

∫[от 0 до 2] (х^3) dx

Интегрируем функцию х^3: ∫(х^3) dx = (х^4)/4 + C

Вычислим значение интеграла в пределах от 0 до 2: [(2^4)/4 - 0] = 16/4 = 4

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой у = х^3, линиями х = -1, х = 2 и осью OX, равна сумме площадей двух частей:

15/4 + 4 = 15/4 + 16/4 = 31/4

Таким образом, площадь этой фигуры равна 31/4 или 7.75 квадратных единиц.