Question

Через середину отрезка проведена прямая.докажите что концы отрезка равноудалены от этой прямой

Answer 1

Если прямая проведена через середину отрезка, значит что концы отрезка равноудалены от прямой

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию подробнее.

Пусть у нас есть отрезок \(AB\), и через его середину \(M\) проведена прямая \(l\). Нам нужно доказать, что концы отрезка \(A\) и \(B\) равноудалены от этой прямой.

1. Обозначим середину отрезка \(AB\) как \(M\). 2. Рассмотрим два треугольника: треугольник \(AMB\) и треугольник \(AMB'\), где точка \(B'\) - это симметричная точка точке \(B\) относительно прямой \(l\).

Так как отрезок \(AB\) проходит через середину \(M\), то \(AM = MB\). Также, как \(B'\) симметрична \(B\) относительно прямой \(l\), то \(AM = MB'\).

Из этих двух фактов мы можем сделать вывод, что \(MB = MB'\), то есть точки \(B\) и \(B'\) равноудалены от середины отрезка \(AB\), через которую проведена прямая \(l\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ABB'\). В этом треугольнике две стороны (\(AB\) и \(B'B\)) равны по доказанному выше, а третья сторона (\(AB'\)) является отрезком, симметричным относительно прямой \(l\). Таким образом, по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании (\(\angle ABB'\) и \(\angle BB'A\)) равны.

Теперь рассмотрим две параллельные прямые: прямую \(l\) и прямую \(BB'\). Угол между этими прямыми (\(\angle ABB'\)) и угол между перпендикулярными к этим прямым (\(\angle AMB\)) равны, так как они соответственные углы. Также у нас есть два вертикальных угла (\(\angle BB'A\) и \(\angle B'BM\)), равные между собой.

Следовательно, у нас есть два треугольника (\(ABB'\) и \(AMB\)), у которых соответственные углы равны, и угол при основании одного из них равен углу при основании другого. Следовательно, эти треугольники подобны.

Теперь мы можем использовать свойство подобных треугольников: соответствующие стороны пропорциональны. Так как \(AM = MB\) (по условию) и \(AM = MB'\) (из симметрии), то мы можем заключить, что и \(MB = MB'\).

Таким образом, мы доказали, что точки \(B\) и \(B'\) равноудалены от середины отрезка \(AB\), через которую проведена прямая \(l\).