Question

Log2 (-x^2+2x+3) ≥ log2 (x^2-x-2) решите не равенство с подробностями

Answer 1

ОДЗ
{x²-2x-3<0⇒(x-3)(x+1)<0⇒-1<x<3
{x²-x-2>0⇒(x-2)(x+1)>0⇒x<-1 U x>2
x∈(2;3)
-x²+2x+3≥x²-x-2
2x²-3x-5≤0
Если в квадратном уравнении ax²+bx+c  выполняется условие a-b+c=0,то   x1=-1 и x2=-c/a
Значит x1=-1 U x2=2,5
-1≤x≤2,5
                             ////////////////////////////////
-----[-1]-------------(2)--------[2,5]---------(3)------
       \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
x∈(2;2,5}

Answer 2

Для решения неравенства log2(-x^2+2x+3) ≥ log2(x^2-x-2) с подробностями, мы можем использовать свойство логарифма, согласно которому loga(b) ≥ loga(c) эквивалентно b ≥ c.

Исходя из этого свойства, неравенство log2(-x^2+2x+3) ≥ log2(x^2-x-2) можно переписать в виде (-x^2+2x+3) ≥ (x^2-x-2).

Далее, мы можем решить это квадратное неравенство, приведя его к виду ax^2 + bx + c ≥ 0, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае, у нас есть: a = -1 b = 2 c = 3

Решение:

1. Найдем корни квадратного уравнения (-x^2+2x+3) = 0: -x^2 + 2x + 3 = 0

Для нахождения корней, мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

Используя формулу дискриминанта, где D = b^2 - 4ac, мы можем найти значения дискриминанта:

D = (2)^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант D > 0, у нас есть два различных корня.

Используя формулу корней квадратного уравнения, где x = (-b ± √D) / (2a), мы можем найти значения корней:

x1 = (-2 + √16) / (2(-1)) = (-2 + 4) / (-2) = 2 / (-2) = -1 x2 = (-2 - √16) / (2(-1)) = (-2 - 4) / (-2) = -6 / (-2) = 3

Таким образом, у нас есть два корня: x1 = -1 и x2 = 3.

2. Построим знаковую линию, чтобы определить интервалы, на которых неравенство (-x^2+2x+3) ≥ 0 выполняется:

Интервалы: (-∞, -1), (-1, 3), (3, +∞)

Подставим значения из каждого интервала в исходное неравенство (-x^2+2x+3) ≥ (x^2-x-2) и определим знак:

Для интервала (-∞, -1): Подставим x = -2: -(-2)^2 + 2(-2) + 3 ≥ (-2)^2 - (-2) - 2 4 - 4 + 3 ≥ 4 + 2 - 2 3 ≥ 4

Для интервала (-1, 3): Подставим x = 0: -(0)^2 + 2(0) + 3 ≥ (0)^2 - (0) - 2 3 ≥ -2

Для интервала (3, +∞): Подставим x = 4: -(4)^2 + 2(4) + 3 ≥ (4)^2 - (4) - 2 -9 ≥ 10

Исходя из результатов, неравенство (-x^2+2x+3) ≥ (x^2-x-2) выполняется на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞).

Ответ:

Решением неравенства log2(-x^2+2x+3) ≥ log2(x^2-x-2) является интервал (-∞, -1) объединенный с интервалом (3, +∞).