Question

Помогите, пожалуйста. ОДЗ понятна, а при дальнейшем решении выходит что-то...короче, ничего не получается. Дробь больше дроби: 6/(2x+1) > (1+log₂(x+2))/x

Answer 1

$\frac{6}{2x+1} \ \textgreater \ \frac{1+log_{2}(x+2)}{x} \\ x \neq 0\\ x \neq -\frac{1}{2}\\ x\ \textgreater \ -2\\\\ 6x\ \textgreater \ (2x+1)(1+log_{2}(x+2)) \\ 6x \ \textgreater \ 2x+2xlog_{2}(x+2)+1+log_{2}(x+2) \\ 4x\ \textgreater \ log_{2}(x+2)(2x+1)+1\\ x+2=t\\ 2x+1=2t-3\\ 4x-1=4t-9\\ 4t-9\ \textgreater \ (2t-3)log_{2}t\\ t\ \textgreater \ 0\\ \frac{4t-9}{2t-3}\ \textgreater \ log_{2}t\\ \frac{2(2t-3)-3}{2t-3}\ \textgreater \ log_{2}t\\ 2-\frac{3}{2t-3}\ \textgreater \ log_{2}t \\ t\ \textless \ 2^{ 2-\frac{3}{2t-3}}$
 
 Дальше можно воспользоватся графиками ,  или же попробовать  так называемой метод $W-$ функций Ламберта. Но оно тут  неявно задано  
Если попробовать графический то  слева  уравнение прямой  , справа кривой,  получим  примерно $t=2.8$   ,то есть примерно $x=0.8$ 
 И того получим   ответ   $x \in (-\frac{1}{2};0) \cup (0.8;1)$

Answer 2

Похоже, у вас возникла проблема с решением неравенства. Давайте разберемся подробнее.

Начнем с неравенства:

6/(2x+1) > (1 + log₂(x+2))/x

Для начала, давайте упростим это неравенство. Мы можем убрать знаменатель, умножив обе стороны на (2x+1) и на x:

6x > (2x+1)(1 + log₂(x+2))

Теперь, раскроем скобки:

6x > 2x + 1 + 2xlog₂(x+2) + log₂(x+2)

Упростим это выражение:

6x > 4x + 1 + 2xlog₂(x+2) + log₂(x+2)

Теперь, выведем все члены с x на одну сторону, а все остальные члены на другую сторону:

6x - 4x - 2xlog₂(x+2) > 1 + log₂(x+2)

2x - 2xlog₂(x+2) > 1 + log₂(x+2)

Теперь, вынесем общий множитель из левой стороны:

2x(1 - log₂(x+2)) > 1 + log₂(x+2)

Далее, разделим обе стороны на (1 - log₂(x+2)):

2x > (1 + log₂(x+2))/(1 - log₂(x+2))

Теперь, мы должны быть осторожными, так как знаменатель может быть равен нулю. Чтобы избежать деления на ноль, нам нужно убедиться, что (1 - log₂(x+2)) ≠ 0.

Решим это уравнение:

1 - log₂(x+2) ≠ 0

log₂(x+2) ≠ 1

Теперь, возведем обе стороны в степень 2:

2^(log₂(x+2)) ≠ 2^1

x + 2 ≠ 2

x ≠ 0

Таким образом, мы получаем, что x не может быть равным 0.

Теперь, вернемся к неравенству:

2x > (1 + log₂(x+2))/(1 - log₂(x+2))

Мы знаем, что x ≠ 0, поэтому можем продолжить решение.

Я рекомендую разделить обе стороны на 2:

x > (1 + log₂(x+2))/(2(1 - log₂(x+2)))

Теперь, у нас есть неравенство, которое можно решить численно или графически. Однако, я могу предложить вам решить это численным методом, используя программу или калькулятор, чтобы получить приближенное значение x.

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам понять решение неравенства. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, сообщите.