Question

Докажите что для любого действительного числа х справедливо неравенство x^2-6x+10>0

Answer 1

Решение задачи может быть произведено несколькими способами. Первый способ - классический. Выделим полный квадрат в этом выражении и посмотрим, к чему дело придёт. Надеюсь, с техникой выделения полного квадрата все знакомы, поэтому не комментирую этот шаг.
x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 * 3x + 9) - 9 + 10 = (x-3)^2 + 1 - раскройте скобки, проверьте, что я ничего не изменил.
В силу того, что (x-3)^2 >= 0, имеем, что
(x-3)^2 + 1 >= 1, то есть все значения этого выражения не меньше 1. Откуда и следует доказываемое равенство.
 
Либо же можно было просто заметить, что дискриминант трёхчлена x^2 - 6x + 10 отрицательный. Геометрически это означает, что на координатной плоскости парабола эта лежит целиком над осью OX. В силу того, что и ветви этой параболы направлены вверх, видим, что все значения этой параболы будут положительными, что и требовалось доказать. Это второй способ решения.

Answer 2

Для доказательства неравенства x^2 - 6x + 10 > 0 для любого действительного числа x, мы можем использовать метод завершения квадратного трехчлена или метод графиков.

Метод завершения квадратного трехчлена:

1. Рассмотрим квадратный трехчлен x^2 - 6x + 10 > 0. 2. Чтобы привести его к квадратному трехчлену в форме (x - a)^2 + b > 0, где a и b - некоторые константы, мы можем завершить квадратное выражение x^2 - 6x + 10. 3. Для этого найдем квадратное выражение, которое имеет те же самые коэффициенты при x. - Для x^2 - 6x, мы можем возвести в квадрат (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9. 4. Добавим 10 - 9 к обоим сторонам неравенства, чтобы сохранить его эквивалентность. - Получим (x - 3)^2 + 1 > 0. 5. Теперь мы имеем квадратное выражение в форме (x - a)^2 + b > 0, где a = 3 и b = 1. 6. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицательный, то (x - a)^2 всегда неотрицательно для любого действительного числа x. 7. Поэтому, чтобы неравенство (x - a)^2 + b > 0 было выполнено, b должно быть строго положительным. 8. В данном случае, b = 1 > 0, следовательно, неравенство (x - 3)^2 + 1 > 0 выполняется для любого действительного числа x.

Метод графиков:

1. Для доказательства неравенства графически, мы можем построить график функции y = x^2 - 6x + 10 и найти интервалы, где она находится выше нуля. 2. График квадратного трехчлена y = x^2 - 6x + 10 будет параболой, открывающейся вверх. 3. Мы можем использовать метод нахождения вершины параболы, чтобы определить минимальное значение y. - Формула для нахождения координат вершины параболы имеет вид x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x в квадратном трехчлене. - В данном случае, a = 1 и b = -6, следовательно, x = -(-6) / (2*1) = 3. - Значение y в вершине параболы будет равно y = (3)^2 - 6(3) + 10 = 1. 4. Так как парабола открывается вверх и имеет минимальное значение y = 1 в вершине, то она всегда будет находиться выше нуля. 5. Следовательно, неравенство x^2 - 6x + 10 > 0 выполняется для любого действительного числа x.

Таким образом, мы доказали, что для любого действительного числа x неравенство x^2 - 6x + 10 > 0 верно, используя как метод завершения квадратного трехчлена, так и метод графиков.