Question

Геометрическая прогрессия. b6=15, b8=5. Найдите q и b7 (b7>0)

Answer 1

B7²=b6*b8=15*5=75
b7=√75=5√3
q=b7/b6=(5√3)/15=√3/3

Answer 2

Для нахождения значения \( q \) и \( b_7 \) в геометрической прогрессии, в которой известны значения \( b_6 = 15 \) и \( b_8 = 5 \), мы можем использовать основное свойство геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \), где \( b_n \) - n-ый член прогрессии, \( b_1 \) - первый член прогрессии, \( q \) - знаменатель прогрессии, \( n \) - номер члена прогрессии.

Из условия известно, что \( b_6 = 15 \) и \( b_8 = 5 \). Это позволяет составить два уравнения:

1. \( b_6 = b_1 \cdot q^{(6-1)} = 15 \) 2. \( b_8 = b_1 \cdot q^{(8-1)} = 5 \)

Теперь найдем отношение \( q \). Для этого поделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от \( b_1 \):

\(\frac{b_8}{b_6} = \frac{b_1 \cdot q^{(8-1)}}{b_1 \cdot q^{(6-1)}} = \frac{q^2}{q^4} = \frac{1}{q^2} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)

Отсюда получаем \( q^2 = 3 \), значит \( q = \sqrt{3} \) (так как \( q > 0 \), мы берем положительный корень).

Теперь, когда \( q \) известно, можем найти первый член прогрессии, используя первое уравнение:

\( b_6 = b_1 \cdot (\sqrt{3})^{(6-1)} = 15 \)

\( b_1 \cdot (\sqrt{3})^{5} = 15 \)

\( b_1 = \frac{15}{\sqrt{3}^{5}} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \)

Теперь найдем седьмой член прогрессии \( b_7 \), используя формулу \( b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \):

\( b_7 = b_1 \cdot q^{(7-1)} = \frac{5}{3} \cdot (\sqrt{3})^{6} = \frac{5}{3} \cdot 3^3 = \frac{5}{3} \cdot 27 = 45 \)

Итак, \( q = \sqrt{3} \), а \( b_7 = 45 \).