Question

Sin2x-cos2x=√2 sin3x

Answer 1

Sin(2x) = cos( Pi/2 - 2x) 
соответственно, 
cos( Pi/2 - 2x) - cos(2x) = 2*cos(Pi/4)*cos( ( Pi/2 - 2x - 2x) / 2) = sqrt(2) * cos(pi/4 - 2x) 
Sqrt - квадратный корень.. . 
Получаем: 
cos(pi/4 - 2x) = sin(3x) 
sin(3x) = cos(pi/2 - 3x) 
Переносим из одной части ур-ния в другую, 
cos(pi/4 - 2x) - cos(pi/2 - 3x) = 0 
Применяем формулу разности косинусов, и уже подходим к ответу: 
(-2) * sin((pi/4 - 2x + pi/2 - 3x)/2) * sin((pi/4 - 2x - pi/2 + 3x)/2) = 0 
Итак, осталось решить: 
sin( pi*3/8 - 2,5x) = 0 
Или sin ( pi/8 - 0,5x) = 0 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение: \( \sin(2x) - \cos(2x) = \sqrt{2} + \sin(3x) \)

1. Используем тригонометрические тождества для преобразования левой части уравнения: \[ \sin(2x) - \cos(2x) = 2\sin(x)\cos(x) - (1 - 2\sin^2(x)) \]

2. Упростим выражение: \[ 2\sin(x)\cos(x) - (1 - 2\sin^2(x)) = 2\sin(x)\cos(x) + 2\sin^2(x) - 1 \]

3. Теперь уравнение имеет вид: \[ 2\sin(x)\cos(x) + 2\sin^2(x) - 1 = \sqrt{2} + \sin(3x) \]

4. Далее, преобразуем \(\sin(3x)\) с использованием тригонометрического тождества \(\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)\): \[ 2\sin(x)\cos(x) + 2\sin^2(x) - 1 = \sqrt{2} + 3\sin(x) - 4\sin^3(x) \]

5. Переносим все члены уравнения на одну сторону: \[ 2\sin(x)\cos(x) + 2\sin^2(x) - 1 - \sqrt{2} - 3\sin(x) + 4\sin^3(x) = 0 \]

6. Объединим подобные члены: \[ 4\sin^3(x) + 2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2} - 1 = 0 \]

Теперь это уравнение можно решить численно, используя методы решения уравнений, либо аналитически, если это возможно. Если есть дополнительные ограничения на \(x\), например, интервал, на котором нужно найти решение, это также может упростить задачу.