Question

1. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а4 = 10, а7 = 19.2. Четвертый член равен 9, а девятый член (-6). Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их была 54?

Answer 1

Решение в прикрепленном фото.

Answer 2

Для нахождения суммы первых десяти членов арифметической прогрессии, используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Где: \(a_n\) - \(n\)-й член арифметической прогрессии, \(a_1\) - первый член арифметической прогрессии, \(n\) - номер члена в прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Известно, что \(a_4 = 10\) и \(a_7 = 19.2\). Также, известно, что четвертый член равен 9 (\(a_4 = 9\)) и девятый член равен -6 (\(a_9 = -6\)).

Из \(a_4 = 10\) и \(a_4 = 9\) можно найти разность прогрессии:

\[a_4 = a_1 + (4 - 1) \cdot d\] \[10 = a_1 + 3d\] ...(1)

\[a_4 = a_1 + (7 - 1) \cdot d\] \[9 = a_1 + 6d\] ...(2)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1), чтобы найти значение разности прогрессии \(d\):

\[10 - 9 = (a_1 + 3d) - (a_1 + 6d)\] \[1 = -3d\] \[d = -\frac{1}{3}\]

Теперь найдем первый член прогрессии \(a_1\), используя уравнение (1):

\[10 = a_1 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\] \[10 = a_1 - 1\] \[a_1 = 11\]

Теперь, имея разность прогрессии \(d = -\frac{1}{3}\) и первый член \(a_1 = 11\), можем найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии с помощью формулы для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

Для этого нам нужно найти \(a_{10}\):

\[a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot d\] \[a_{10} = 11 + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\] \[a_{10} = 11 - 3\] \[a_{10} = 8\]

Теперь можем найти сумму первых 10 членов:

\[S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (11 + 8)\] \[S_{10} = 5 \cdot 19\] \[S_{10} = 95\]

Теперь, чтобы найти, сколько членов нужно взять, чтобы сумма их была 54, мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии и решить уравнение:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

У нас есть \(a_1 = 11\), \(S_n = 54\), и мы знаем, что \(d = -\frac{1}{3}\).

Подставим известные значения:

\[54 = \frac{n}{2} \cdot (11 + a_n)\]

Так как \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\), а \(a_1 = 11\) и \(d = -\frac{1}{3}\):

\[a_n = 11 + (n - 1) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\]

\[a_n = 11 - \frac{n - 1}{3}\]

Теперь решим уравнение:

\[54 = \frac{n}{2} \cdot \left(11 + \left(11 - \frac{n - 1}{3}\right)\right)\] \[54 = \frac{n}{2} \cdot \left(22 - \frac{n - 1}{3}\right)\]

Решив это уравнение, найдем значение \(n\):

\[54 = 11n - \frac{n^2 - n}{6}\] \[54 = 11n - \frac{n^2 - n}{6}\] \[54 = 11n - \frac{n^2 - n}{6}\] \[324 = 66n - n^2 + n\] \[0 = n^2 - 68n + 324\]

Решив это квадратное уравнение, найдем значения \(n\):

\[n = \frac{-(-68) \pm \sqrt{(-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324}}{2 \cdot 1}\] \[n = \frac{68 \pm \sqrt{4624 - 1296}}{2}\] \[n = \frac{68 \pm \sqrt{3328}}{2}\] \[n = \frac{68 \pm 8\sqrt{13}}{2}\] \[n = 34 \pm 4\sqrt{13}\]

Так как число членов в арифметической прогрессии не может быть дробным или отрицательным, возьмем только положительное целочисленное значение:

\[n = 34 + 4\sqrt{13}\]

Следовательно, чтобы сумма членов арифметической прогрессии была 54, нужно взять 34 члена.