Question

С полным решением!!! Имеются гирьки массой 1 г, 2 г, 3 г, …, 24 г. 1) Можно ли их разложить на 15 кучек, равных по массе? 2) Можно ли их разложить на 5 кучек, равных по массе? 3) На сколько равных по массе кучек можно разложить гирьки?

Answer 1

Я уже решал эту задачу. Сумма 1+2+3+...+24 = (1+24)*24/2 = 300 г.
1) Если разделить на 15 кучек, то получится 300/15 = 20 г в кучке.
Но гирьки весом 21, 22, 23 и 24 г придется распилить.
Поэтому на 15 кучек разделить нельзя.
2) На 5 кучек по 300/5 = 60 г разделить можно. Например, так:
60 = 24+23+13 = 22+21+17 = 20+19+18+3 = 16+15+14+12+1+2 =
= 11+10+9+8+7+6+5+4
3) 300 г можно разложить на кучки весом не меньше 24 г.
300 = 2*150 = 3*100 = 4*75 = 5*60 = 6*50 = 10*30 = 12*25
Здесь 1 множитель - количество кучек, 2 множитель - масса каждой.

Answer 2

1) Для того чтобы разложить гирьки на 15 кучек, равных по массе, сумма масс всех гирек должна быть кратна 15. Проверим это условие: 1+2+3+...+24 = 12*25 = 300. Очевидно, что 300 не делится на 15 без остатка, поэтому невозможно разложить гирьки на 15 кучек, равных по массе.

2) Аналогично, чтобы разложить гирьки на 5 кучек, равных по массе, сумма масс всех гирек должна быть кратна 5. Проверим это условие: 1+2+3+...+24 = 12*25 = 300. Очевидно, что 300 делится на 5 без остатка, поэтому возможно разложить гирьки на 5 кучек, равных по массе.

3) Чтобы определить на сколько равных по массе кучек можно разложить гирьки, нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). НОД масс гирек будет равен 1, так как все числа от 1 до 24 взаимно простые. Следовательно, гирьки можно разложить на 1 кучку, равную по массе.