Question

Sin^8 75° - cos^8 75°

Answer 1

$sin^875к-cos^875к=(sin^475к)^2-(cos^475к)^2=$$=(sin^475к-cos^475к)(sin^475к+cos^475к)=$$=(sin^275к-cos^275к)(sin^275к+cos^275к)(sin^475к+cos^475к)=$$=-(cos^275к-sin^275к)(sin^475к+cos^475к)=$$=-cos150к((sin^275к+cos^275к)^2-2sin^275cos^275к)=$$=cos30к(1^2- \frac{1}{2} sin^2150)= \frac{ \sqrt{3} }{2} (1- \frac{1}{2}*( \frac{1}{2})^2)= \frac{ \sqrt{3} }{2} (1- \frac{1}{2}* \frac{1}{4})=$$=\frac{ \sqrt{3} }{2} (1- \frac{1}{8})= \frac{ \sqrt{3} }{2} * \frac{7}{8}= \frac{7 \sqrt{3} }{16}$

Answer 2

Для решения данного выражения, мы можем воспользоваться формулой тригонометрии, которая связывает синус и косинус угла с его дополнением:

sin^2θ + cos^2θ = 1

Мы можем представить выражение sin^8(75°) + cos^8(75°) как:

(sin^2(75°))^4 + (cos^2(75°))^4

Используя формулу, мы можем заменить каждый квадрат синуса и косинуса:

(sin^2(75°))^4 + (1 - sin^2(75°))^4

Теперь, мы можем упростить выражение:

(sin^2(75°))^4 + (1 - sin^2(75°))^4

(sin^4(75°))^2 + (1 - 2sin^2(75°) + sin^4(75°))^2

(sin^4(75°) + (1 - 2sin^2(75°) + sin^4(75°)))^2

(1 - 2sin^2(75°) + 2sin^4(75°))^2

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения:

sin^2(75°) = (1 - cos(2*75°))/2

sin^4(75°) = ((1 - cos(2*75°))/2)^2

Теперь мы можем заменить значения:

(1 - 2((1 - cos(2*75°))/2) + ((1 - cos(2*75°))/2)^2)^2

(1 - (1 - cos(2*75°)) + ((1 - cos(2*75°))/2)^2)^2

(1 - 1 + cos(2*75°) + ((1 - cos(2*75°))/2)^2)^2

(cos(2*75°) + ((1 - cos(2*75°))/2)^2)^2

(cos(2*75°) + ((1 - cos(2*75°))^2)/4)^2

Теперь мы можем рассчитать значение выражения с помощью тригонометрических функций или калькулятора:

cos(150°) + ((1 - cos(150°))^2)/4

-0.866 + (1 - (-0.866))^2/4

-0.866 + (1 + 0.866)^2/4

-0.866 + 1.732^2/4

-0.866 + 3/4

-0.866 + 0.75

≈ -0.116

Таким образом, значение выражения sin^8(75°) + cos^8(75°) примерно равно -0.116.