Question

Доказать формулу сложных радикалов

Answer 1

Это восьмой клас.
Школьная программа.
Называется "формула сложных корней".
Справедлиы только если b>=0 и a >= sqrt(b).

Возведем в квадрат:
sqrt(a+sqrt(b))^2 = (sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2) + sqrt((a-sqrt(a^2-b))/2))^2;

a + sqrt(b) = (a+sqrt(a^2-b))/2 + (a-sqrt(a^2-b))/2 + 2*sqrt((a+sqrt(a^2-b))*(a-sqrt(a^2-b))/4);

a + sqrt(b) = a + 2*sqrt((a^2 - (a^2-b))/4);

a + sqrt(b) = a + sqrt(b)
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Когда вы говорите о "формуле сложных радикалов", вероятно, вы имеете в виду формулу для упрощения выражения, содержащего сложные радикалы. Я не знаю конкретной формулы, так как у вас нет конкретного выражения, но я могу рассказать вам общий подход к упрощению выражений с радикалами.

Предположим, у вас есть выражение вида:

\[ \sqrt[n]{a} + \sqrt[m]{b} \]

где \(n\) и \(m\) - натуральные числа, а \(a\) и \(b\) - положительные числа. Чтобы упростить это выражение, можно воспользоваться следующими свойствами радикалов:

1. Сложение и вычитание радикалов: \[ \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[m]{b} \] Это выражение сложно упростить в общем виде, если только \(n\) и \(m\) не являются взаимно простыми (т.е., не имеют общих делителей, кроме 1). В противном случае оно может быть представлено в виде единственного радикала, но формулы могут быть сложными и не очень информативными.

2. Умножение радикалов: \[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[n \cdot m]{a^m \cdot b^n} \]

3. Деление радикалов: \[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[n \cdot m]{\frac{a^n}{b^m}} \]

Эти свойства позволяют вам упрощать выражения, содержащие сложные радикалы. Однако, если вы имеете конкретное выражение, которое вы хотите упростить, пришлите его, и я постараюсь помочь вам более конкретно.