Question

Докажите, что число n^3-n при любом n делится на 6.

Answer 1

при n=2 имеем 8-2=6 утверждение верно

полагаем, что оно вернопри n=m

покажем что оновыполняется и при n=m+1

(m+1)^2-(m+1)=m^3-m+3m^2+3m

первые два слагаемых делятся на 6 по предположению,

вторые делятся на 3, но m(m+1) число четное, т.к. четным является

либо m либо  m+1. следовательно два вторых слагаемых тоже делятся на 6.

а значит и вся сумма делится на 6. утверждение доказано

Answer 2

Данное число запишем в виде произведения n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)

 

 

Из трех натуральных последовательных чисел хотя бы одно делится на 2, и хотя бы одно обязательно делится на 3, 2и 3 взаимно простые числа - поэтому произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 2*3=6, т.е.

 

n^3-n при любом n делится на 6, что и трбебовалось доказать. Доказано

Answer 3

Для доказательства того, что число n^3 - n делится на 6 при любом целом числе n, мы можем использовать метод математической индукции.

Базис индукции:

Для n = 1, мы имеем 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0. 0 делится на 6, поэтому базис индукции выполняется.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого целого числа k, k^3 - k делится на 6.

Шаг индукции:

Мы должны доказать, что (k+1)^3 - (k+1) также делится на 6.

Раскроем выражение (k+1)^3 - (k+1): (k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k

Теперь давайте рассмотрим это выражение по модулю 6: (k^3 + 3k^2 + 2k) % 6 = (k^3 % 6 + 3k^2 % 6 + 2k % 6) % 6

Мы знаем, что k^3 - k делится на 6 по предположению индукции. Также, поскольку 6 делится на 2 и 3, k^3 % 6, 3k^2 % 6 и 2k % 6 также делятся на 6.

Таким образом, (k+1)^3 - (k+1) также делится на 6.

Заключение:

Используя метод математической индукции, мы показали, что число n^3 - n делится на 6 при любом целом числе n.