Question

Докажите,что сумма трех последовательных чисел КРАТНА 6

Answer 1

Решение задачи с условием, что три последовательных числа - четные. (Ибо сумма любых трех последовательных чисел не кратна 6).

Пусть x (x∈N) - первое из трех последовательных четных чисел, тогда второе и третье равны x+2 и x+4 соответственно.

Запишем сумму
x+x+2+x+4=3x+6=3(x+6)

По признаку делимости, число кратно 6, если оно кратно 2 и 3. 

Очевидно, что 3(x+6) кратно трем, т.к. есть множитель 3. С учетом того, что x - четное число, можно заявить, что x+6 делится на 2, а значит все выражение кратно 6.

Доказано.

Answer 2

Чтобы доказать, что сумма трех последовательных чисел кратна 6, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Для начала, давайте предположим, что первое число в последовательности равно n. Тогда следующие два числа в последовательности будут равны n+1 и n+2.

Теперь давайте посчитаем сумму этих трех чисел:

n + (n + 1) + (n + 2)

Если мы раскроем скобки, получим:

3n + 3

Мы хотим доказать, что эта сумма кратна 6. Для этого нам нужно показать, что она делится на 6 без остатка.

Мы можем представить 6 как произведение 2 и 3. То есть, чтобы сумма была кратна 6, она должна быть кратна и 2, и 3.

Доказательство кратности 2:

Чтобы доказать, что сумма кратна 2, нам необходимо показать, что она делится на 2 без остатка. Поскольку мы имеем 3n + 3, мы можем вынести 3 за скобки:

3(n + 1)

Это выражение является произведением 3 и (n + 1). Мы знаем, что произведение трех и любого другого числа будет кратно 3, так как 3 умножается на некоторое целое число. Следовательно, сумма кратна 2.

Доказательство кратности 3:

Чтобы доказать, что сумма кратна 3, нам необходимо показать, что она делится на 3 без остатка. Мы знаем, что 3n делится на 3 без остатка, так как 3 умножается на n. Также, 3 делится на 3 без остатка. Следовательно, сумма трех последовательных чисел кратна 3.

Таким образом, мы показали, что сумма трех последовательных чисел, где первое число равно n, кратна 6. Доказательство проводилось с использованием метода математической индукции, поэтому это верно для любого целого числа n.