Question

Решить уравнение: tgx-ctg((7pi)/6)=tg((7pi)/8) -√3×tg(pi/8)×tgx

Answer 1

Сначала найдем известные числа
ctg(7pi/6) = ctg(pi/6) = √3
$sin( \frac{7\pi}{8} ) = sin(\pi - \frac{\pi}{8} ) = sin( \frac{\pi}{8} )= \sqrt{ \frac{1-cos(\pi/4)}{2} } = \sqrt{ \frac{1- \sqrt{2}/2 }{2} } = \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2}$
$cos( \frac{7\pi}{8} )=cos(\pi- \frac{\pi}{8} )=-cos( \frac{\pi}{8} )=-\sqrt{ \frac{1+cos(\pi/4)}{2} } = -\sqrt{ \frac{1+ \sqrt{2}/2 }{2} } =$
$= -\frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2}$

$tg( \frac{7\pi}{8} )= \frac{sin( \frac{7\pi}{8} )}{cos( \frac{7\pi}{8} )} = -\frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2}:\frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2}= -\sqrt{ \frac{2- \sqrt{2}}{2+ \sqrt{2}} } = -\sqrt{ \frac{(2- \sqrt{2})^2}{4-2} } =$
$=-\frac{2- \sqrt{2}}{ \sqrt{2} }=1- \sqrt{2}$


$tg( \frac{\pi}{8} )= \frac{sin( \frac{\pi}{8} )}{cos( \frac{\pi}{8} )} = \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2}:\frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2}= \sqrt{ \frac{2- \sqrt{2}}{2+ \sqrt{2}} } = \sqrt{ \frac{(2- \sqrt{2})^2}{4-2} } =$
$=\frac{2- \sqrt{2}}{ \sqrt{2} }=\sqrt{2} -1$

Подставляем
$tgx- \sqrt{3}=1- \sqrt{2} - \sqrt{3}*( \sqrt{2} -1) *tgx$
$tgx+ \sqrt{3}( \sqrt{2} -1)*tgx=1- \sqrt{2}+ \sqrt{3}$
$tgx*(1+ \sqrt{6} - \sqrt{3} )=1- \sqrt{2}- \sqrt{3}$
$tgx= \frac{1- \sqrt{2}- \sqrt{3}}{1+ \sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{(1- \sqrt{2}- \sqrt{3})(1+ \sqrt{6} + \sqrt{3})}{(1+ \sqrt{6})^2 - 3}=$
$=\frac{1-\sqrt{2}- \sqrt{3}+ \sqrt{6}-2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}+ \sqrt{3}- \sqrt{6} -3 }{1+2 \sqrt{6}+6-3} = \frac{-2-4 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{4+2 \sqrt{6} } =- \frac{1+2 \sqrt{2}- \sqrt{3} }{2+ \sqrt{6} }=$
$=- \frac{(1+2 \sqrt{2}- \sqrt{3})(2- \sqrt{6} ) }{4-6}= \frac{2+4 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}- \sqrt{6} -4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}{2} = \frac{2+7 \sqrt{2} -6 \sqrt{3} - \sqrt{6} }{2}$
$x=arctg(\frac{2+7 \sqrt{2} -6 \sqrt{3} - \sqrt{6} }{2})+ \pi *k$
Если я ничего не напутал. Сложное решение получилось.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и методы решения уравнений. Давайте начнем.

Переформулирование уравнения

Данное уравнение содержит функции тангенса и котангенса. Для удобства решения, давайте переформулируем его, используя тригонометрические тождества.

Тригонометрические тождества: 1. tg(π/4) = 1 2. tg(π/3) = √3 3. ctg(π/6) = √3 4. ctg(π/4) = 1

Используя эти тождества, мы можем переписать уравнение:

tg(x) - ctg((7π/6)) = tg((7π/8)) + (-√3) × tg(π/8) × tg(x)

Теперь давайте продолжим решение.

Упрощение уравнения

Чтобы упростить уравнение, мы можем заменить значения функций тангенса и котангенса, используя тождества, описанные выше. Заметим, что:

tg((7π/8)) = tg((π/2 - π/8)) = ctg(π/8)

Используя это, уравнение можно упростить до:

tg(x) - ctg((7π/6)) = ctg(π/8) - (√3) × tg(π/8) × tg(x)

Решение уравнения

Теперь мы можем решить уравнение, приведя все подобные термины к одной стороне уравнения. Давайте проделаем это:

tg(x) + (√3) × tg(π/8) × tg(x) = ctg((7π/6)) + ctg(π/8)

Сгруппируем суммы по тангенсам:

tg(x) × (1 + (√3) × tg(π/8)) = ctg((7π/6)) + ctg(π/8)

Заметим, что:

ctg((7π/6)) = - ctg(π/6) = - (√3)

Теперь уравнение принимает вид:

tg(x) × (1 + (√3) × tg(π/8)) = - (√3) + ctg(π/8)

Решение окончательного уравнения

Далее мы делим обе стороны уравнения на выражение в скобках:

tg(x) = (- (√3) + ctg(π/8)) / (1 + (√3) × tg(π/8))

Теперь мы можем вычислить значение тангенса x с использованием калькулятора или программы для научных вычислений. Вычисление этого значения зависит от угла x, который нужно найти.

Найденное значение тангенса x

После вычисления значения тангенса x, вы можете использовать обратную функцию тангенса, чтобы найти сам угол x.

Например, если мы нашли, что tg(x) = 0,5, мы можем использовать обратную функцию тангенса, чтобы найти угол x:

x = arctg(0,5)

Таким образом, для каждого конкретного значения тангенса x, вы можете использовать обратную функцию тангенса для нахождения соответствующего угла x.

Обратите внимание, что результаты решения уравнения могут зависеть от конкретных значений функций тангенса и котангенса, используемых в уравнении. Они могут быть приближенными значениями и могут быть округлены для удобства.