Question

Решите методом инервалов (x-4)^2(x+2)<0

Answer 1

1) (x+5)(x+2) > 0;

Для начала обозначим на координатной прямой нули ф-ции f(x) = (x+5)(x+2)

x + 5 = 0,    x = -5

x + 2 = 0,    x = -2

(смотри рисунок)

Точки исключенны так как строго >.

Найдем знак этой ф-ции на каждом из промежутков:

 

(-∞; -5) -  берем например -10. Подставим в наше неравенство. Имеем:

(-10 + 5)(-10 + 2) = (-5) * (-8),

Тоесть там и там отрицательное но когда умножим дасть положительное число, тоесть 40.

Значит на прмежутке (-∞; -5) знак положительной.

 

(-5; -2) - аналогично. Берем например -3.Подставим:

(-3 + 5)(-3 + 2) = 2 * (-1) = -2 - отрицательное. Значит на промежутке (-5; -2) знак отрицательной.

 

(-2; +∞). Берем например 0:

(0 + 5)(0 + 2) = 5 * 2 = 10

Значит на промежутке (-2; +∞) знак положительный.

 

Поскольку У нас неравенство > то берем промежутки с положительным знаком.

Ответ: (-∞; -5) U (-2; +∞)

 

2) (x+1)(x-4) ≤ 0;

Найдем нули ф-ции:

х + 1 =0,  х = -1

х - 4 = 0,  х = 4

 

Точки включены (зарисованые)

на промежутке (-∞; -1] - положительный знак

на пр-ке [-1; 4] - отрицательный

на пр-ке [4; +∞) - положительной.

 

Поскольке ≤, то Ответ: [-1; 4]

 

3) 

точку 7 - включить,  а точку -8  - исключить

Смотри рисунок.

(-∞; -8) -  "+"

(-8; 7]  -  "-"

[7; +∞)  - "+"

  Ответ: (-8; 7]

 

4)

Точка -6 - включить;  точку 10 - исключить

(∞; -6] - "+"

[-6;10) - "-"

(10; +∞) - "+"

Ответ: (∞; -6] U (10; +∞)

 

5) (x-1) x (x+3)> 0;

x = 1

x = 0

x = -3

Все точки исключены.

(-∞; -3) - "-"

(-3; 0) - "+"

(0; 1) - "-"

(1; +∞) - "+"

Ответ: (-3; 0) U (1; +∞)

 

6) x(x+2)(x-3) > 0

x = 0

x = -2

x = 3

Все точки исключены.

(-∞; -2) - "-"

(-2; 0) - "+"

(0; 3) - "-"

(3; +∞) - "+"

Ответ: (-2; 0) U (3; +∞)

 

7) 

Все точки исключены.

(-∞; -1) - "-"

(-1; 0) - "+"

(0; 0,5) - "-"

(0,5; +∞) - "+"

Ответ: (-1; 0) U (0,5; +∞)

 

8) 

Точки 0 и -1/3 - включать, а точку 2 - нет.

(-∞; -1/3] - "-"

[-1/3; 0] - "+"

[0; 2) - "-"

(2; +∞) - "+"

Ответ: (-∞; -1/3] U [0; 2)

Answer 2

Для решения неравенства (x-4)^2(x+2)<0 методом интервалов, мы должны найти интервалы, на которых выражение (x-4)^2(x+2) меньше нуля.

1. Найдем точки, в которых выражение (x-4)^2(x+2) обращается в ноль: (x-4)^2 = 0, если x = 4 x+2 = 0, если x = -2

2. Построим числовую прямую и отметим найденные точки:

-∞ -2 4 +∞ |_____|___|_____|

3. Разделим числовую прямую на интервалы:

Интервал 1: (-∞, -2) Интервал 2: (-2, 4) Интервал 3: (4, +∞)

4. Выберем тестовую точку из каждого интервала и проверим значение выражения (x-4)^2(x+2):

Интервал 1: x = -3 (-3-4)^2(-3+2) = (-7)^2(-1) = 49(-1) = -49 < 0 Интервал 2: x = 0 (0-4)^2(0+2) = (-4)^2(2) = 16(2) = 32 > 0 Интервал 3: x = 5 (5-4)^2(5+2) = (1)^2(7) = 1(7) = 7 > 0

5. Проанализируем полученные результаты:

В интервале 1 выражение (x-4)^2(x+2) меньше нуля. В интервале 2 выражение (x-4)^2(x+2) больше нуля. В интервале 3 выражение (x-4)^2(x+2) больше нуля.

6. Запишем ответ:

Решением неравенства (x-4)^2(x+2)<0 является интервал (-∞, -2).

Answer 3

Чтобы решить неравенство (x-4)^2(x+2) < 0 методом интервалов, нужно найти интервалы, на которых выражение (x-4)^2(x+2) меньше нуля.

1. Начнем с того, что найдем значения x, при которых выражение (x-4)^2(x+2) равно нулю: (x-4)^2(x+2) = 0 Такое равенство выполняется, когда один или несколько множителей равны нулю. Решим это уравнение:

x-4 = 0 => x = 4 x+2 = 0 => x = -2

2. Теперь рассмотрим интервалы между найденными значениями x = -2 и x = 4, а также интервалы до x = -2 и после x = 4.

2.1. Интервал (-∞, -2): Выберем произвольное значение x, например, x = -3, и подставим его в исходное неравенство: (-3-4)^2(-3+2) = (-7)^2(-1) = 49(-1) = -49 < 0 Таким образом, на интервале (-∞, -2) неравенство выполняется.

2.2. Интервал (-2, 4): Выберем произвольное значение x, например, x = 0, и подставим его в исходное неравенство: (0-4)^2(0+2) = (-4)^2(2) = 16(2) = 32 > 0 Таким образом, на интервале (-2, 4) неравенство не выполняется.

2.3. Интервал (4, +∞): Выберем произвольное значение x, например, x = 5, и подставим его в исходное неравенство: (5-4)^2(5+2) = (1)^2(7) = 1(7) = 7 > 0 Таким образом, на интервале (4, +∞) неравенство не выполняется.

3. Итак, неравенство (x-4)^2(x+2) < 0 выполняется только на интервале (-∞, -2). Ответ: решением данного неравенства является интервал (-∞, -2).