Question

Найди сумму 1/1+√2+1/√2+√3+...+1/√2004+√2005

Answer 1

 
 $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + ...+\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2005}} =$ 
 
 после избавление от иррациональности в знаменателе     
 
 $\frac{\sqrtno numeric noise key 1029-1}no numeric noise key 1028+\frac{\sqrtno numeric noise key 1027-\sqrtno numeric noise key 1026}no numeric noise key 1025+...+\frac{\sqrtno numeric noise key 1024-\sqrtno numeric noise key 1023}no numeric noise key 1022 =\\\\ \sqrtno numeric noise key 1021-1+\sqrtno numeric noise key 1020-\sqrtno numeric noise key 1019+...+ 1018-\sqrtno numeric noise key 1017 =$ 
 
в конце остается только 

$-1+\sqrt{2005}$ 
 
 это и есть искомая сумма 

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать математические методы и знания о бесконечных рядах.

Дана последовательность чисел: 1/1, √2, 1/√2, √3, 1/√3, ..., 1/√2004, √2005. Мы хотим найти сумму всех этих чисел.

Разложение чисел на сумму двух слагаемых

Обратим внимание, что каждое число в этой последовательности можно представить в виде суммы двух слагаемых. Например, число √2 можно разложить на √2 = 1 + 1/√2, а число 1/√2 можно разложить на 1/√2 = 1/√2 + 0. Таким образом, каждое число в последовательности можно представить в виде суммы двух чисел, где одно из них является целым числом.

Перегруппировка слагаемых

Мы можем перегруппировать слагаемые в этой последовательности таким образом, чтобы все целые числа шли в начале, а все числа вида 1/√n шли в конце. Например, мы можем перегруппировать последовательность следующим образом:

1/1 + 1/√2 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√3 + ... + 1/√2004 + 1/√2004 + √2 + √3 + ... + √2005

Мы видим, что каждое целое число встречается дважды, а каждое число вида 1/√n встречается дважды. Поэтому, сумма всех чисел вида 1/√n будет равна двукратной сумме чисел вида 1/√n.

Расчет суммы целых чисел

Теперь давайте посчитаем сумму всех целых чисел в данной последовательности. Всего у нас есть 2005 чисел, и каждое из них встречается дважды. Поэтому, сумма всех целых чисел будет равна:

2 * (1/1 + √2 + √3 + ... + √2005)

Расчет суммы чисел вида 1/√n

Суммируя числа вида 1/√n, мы можем заметить, что это представляет собой гармонический ряд, где n пробегает значения от 2 до 2005. Формула для суммы гармонического ряда имеет вид:

1/√2 + 1/√3 + ... + 1/√2005 = ∑(1/√n) = √2005 - 1

Расчет окончательной суммы

Теперь, используя наши расчеты для суммы целых чисел и суммы чисел вида 1/√n, мы можем вычислить окончательную сумму всей последовательности:

2 * (1/1 + √2 + √3 + ... + √2005) + √2005 - 1

= 2 * √2005 + √2005 - 1

= 3 * √2005 - 1

Таким образом, сумма данной последовательности равна 3 * √2005 - 1.