Question

Sin квадрат x+2sinxcosx-3cos квадрат x=0

Answer 1

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Answer 2

Для решения уравнения \( \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) - 3\cos^2(x) = 0 \), давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Первое, что мы можем сделать, это выразить \(\sin^2(x)\) и \(\cos^2(x)\) через основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).

Давайте заметим, что у нас есть квадраты и произведение \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\). Воспользуемся тем, что \(2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\). Также, заметим, что \(-3\cos^2(x) = -3(1 - \sin^2(x))\), используя основное тригонометрическое тождество.

Теперь у нас есть уравнение: \[ \sin^2(x) + \sin(2x) - 3 + 3\sin^2(x) = 0 \]

Объединим подобные члены: \[ 4\sin^2(x) + \sin(2x) - 3 = 0 \]

Теперь давайте заметим, что \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). Заменим это в уравнение: \[ 4\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) - 3 = 0 \]

Теперь мы можем воспользоваться факторизацией. У нас есть квадратный тригонометрический термин: \[ (2\sin(x) - 1)(2\sin(x) + 3) = 0 \]

Таким образом, у нас два возможных уравнения: 1. \(2\sin(x) - 1 = 0\), что приводит к \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). 2. \(2\sin(x) + 3 = 0\), что приводит к \(\sin(x) = -\frac{3}{2}\).

Однако, второе уравнение не имеет решений в диапазоне значений для \(\sin(x)\) (от -1 до 1). Так что решение уравнения - это \(\sin(x) = \frac{1}{2}\).

Теперь найдем значения \(x\), для которых \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). В стандартном диапазоне углов, это соответствует углам 30 градусов (или \(\frac{\pi}{6}\)) и 150 градусов (или \(\frac{5\pi}{6}\)), так как синус 30 градусов и синус 150 градусов равны \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, уравнение \( \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) - 3\cos^2(x) = 0 \) имеет решения \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) - любое целое число.