Question

Помогите решить : 5( sin2x)^2 + 8(cosx)^3 = 8cosx

Answer 1

Sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x) - по основному тригонометрич.тождеству
5 - 5cos^2(2x) + 8cos^3(x) - 8cosx = 0
cos^2(2x) = (2cos^2(x) - 1)^2 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1
5 - 20cos^4(x) + 20cos^2(x) - 5 + 8cos^3(x) - 8cosx = 0
Замена: cosx = t, -1<=t<=1
t*(-5t^3 + 2t^2 + 5t - 2) = 0
t1=0
t2=1
t3=-1
t4=2/5
Обратная замена:
1) cosx=0, x=pi/2 + pi*k
2) cosx=1, x=2pi*k
3) cosx=-1, x=pi + 2pi*k
4) cosx=2/5, x=+-(arccos(2/5)) + 2pi*k

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Давайте начнем с упрощения уравнения:

5(sin^2(x))^2 + 8(cos(x))^3 = 8cos(x)

Мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x), используя тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

5(1 - cos^2(x))^2 + 8(cos(x))^3 = 8cos(x)

Теперь раскроем квадрат и упростим:

5(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) + 8(cos(x))^3 = 8cos(x)

Распишем умножение и сгруппируем слагаемые:

5 - 10cos^2(x) + 5cos^4(x) + 8(cos(x))^3 = 8cos(x)

Теперь приведем подобные слагаемые:

5cos^4(x) - 10cos^2(x) + 8(cos(x))^3 - 8cos(x) + 5 = 0

Обозначим cos(x) за t:

5t^4 - 10t^2 + 8t^3 - 8t + 5 = 0

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение 8t^3 - 10t^2 - 8t + 5 = 0. Для этого мы можем использовать методы решения кубических уравнений, такие как метод Ньютона или метод деления пополам.

После того, как мы найдем корни уравнения t, мы сможем найти значения x, используя обратную функцию косинуса (arccos).

Обратите внимание, что решение данного уравнения может быть достаточно сложным и может потребовать использования численных методов для нахождения корней.