Question

Площадь прямоугольника составляет 16 см^2. Каковы долны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Answer 1

Сумма сторон должна быть наименьшей - за третюю сторону стороны должны быть как стороны квадрата, то есть около (3-5) (2-6) (1-7)

Answer 2

сумма сторон должна быть наименьшей...ответа не знаю, но стороны должны быть как можно ближе похожи на стороны квадрата, то есть около 4см каждая. думаю определенного ответа тут нет, так как в вопросе говорится о прямоугольнике(стороны по 4 см нельзя).

могу ошибаться

Answer 3

Давайте обозначим размеры прямоугольника через \( x \) и \( y \). Тогда площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = xy \]

Также, периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон:

\[ P = 2x + 2y \]

У нас дано, что площадь равна 16 см²:

\[ xy = 16 \]

Мы хотим минимизировать периметр, поэтому формула для периметра должна быть вида:

\[ P = 2x + 2y \]

Теперь мы можем решить систему уравнений методом подстановки. Используем уравнение для площади:

\[ xy = 16 \]

Выразим, например, \( x \) через \( y \):

\[ x = \frac{16}{y} \]

Теперь подставим это значение в уравнение для периметра:

\[ P = 2\left(\frac{16}{y}\right) + 2y \]

Упростим это уравнение и найдем его минимум. Для удобства можно использовать производные:

\[ P' = -\frac{32}{y^2} + 2 \]

Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

\[ -\frac{32}{y^2} + 2 = 0 \]

\[ -\frac{32}{y^2} = -2 \]

\[ \frac{32}{y^2} = 2 \]

\[ y^2 = \frac{32}{2} \]

\[ y^2 = 16 \]

\[ y = 4 \]

Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна 4 см. Теперь найдем вторую сторону, используя уравнение для площади:

\[ x = \frac{16}{y} = \frac{16}{4} = 4 \]

Итак, оптимальные размеры прямоугольника для минимизации периметра и при условии, что площадь равна 16 см², составляют 4 см на 4 см.