Question

Розв'язати рівняння log {4}(2*4^(x-2)-1) +4=2x

Answer 1

Ответ: х=2
решение прилагаю в фотографии))

Answer 2

Щоб розв'язати рівняння log{4}(2*4^(x-2)-1) + 4 = 2x, спочатку ми спробуємо виразити x.

Перший крок: Зведення логарифмічного виразу

За допомогою властивостей логарифмів, ми можемо звести логарифмічний вираз до бази 4: log{4}(2*4^(x-2)-1) + 4 = 2x 4^(log{4}(2*4^(x-2)-1) + 4) = 4^(2x)

Другий крок: Застосування властивостей степенів

Використовуючи властивості степенів, ми можемо спростити праву частину рівняння: 4^(log{4}(2*4^(x-2)-1) + 4) = 4^(2x) (2*4^(x-2)-1) * 4^4 = 4^(2x) (2*4^(x-2)-1) * 256 = 4^(2x)

Третій крок: Заміна змінної

Для спрощення рівняння, давайте зробимо заміну 4^(x-2) = y: (2*y-1) * 256 = 4^(2x)

Четвертий крок: Розв'язання підібраного рівняння

Тепер ми можемо розв'язати підібране рівняння: (2*y-1) * 256 = y^2 512y - 256 = y^2 y^2 - 512y + 256 = 0

Це квадратне рівняння. Ми можемо застосувати квадратну формулу, щоб знайти значення y.

П'ятий крок: Застосування квадратної формули

Застосувавши квадратну формулу, ми отримаємо два значення для y:

y = ( -b ± √(b^2 - 4ac) ) / 2a

де a = 1, b = -512, c = 256.

Підставляючи ці значення, ми отримуємо:

y = ( -(-512) ± √((-512)^2 - 4*1*256) ) / (2*1) y = ( 512 ± √(262144 - 1024) ) / 2 y = ( 512 ± √(261120) ) / 2 y = ( 512 ± 510.986 ) / 2

Шостий крок: Знайдення значень x

Тепер ми можемо виразити x, використовуючи заміну, яку ми зробили раніше:

4^(x-2) = y

Сьомий крок: Розв'язання рівняння

1. Для значення y = ( 512 + 510.986 ) / 2: 4^(x-2) = ( 512 + 510.986 ) / 2 4^(x-2) = 1011.986 / 2 4^(x-2) = 505.993 x - 2 = log{4}(505.993) x - 2 = log{4}(4^3.404) x - 2 = 3.404 x = 3.404 + 2 x = 5.404

2. Для значення y = ( 512 - 510.986 ) / 2: 4^(x-2) = ( 512 - 510.986 ) / 2 4^(x-2) = 1.014 / 2 4^(x-2) = 0.507 x - 2 = log{4}(0.507) x - 2 = log{4}(4^-0.296) x - 2 = -0.296 x = -0.296 + 2 x = 1.704

Таким чином, рівняння log{4}(2*4^(x-2)-1) + 4 = 2x має два розв'язки: x = 5.404 та x = 1.704.