Question

Срочно помогите мне осталось немного Найдите значение выражения: Отмечу как лучший самый первый ответа) 2sin22°30'*cos7°30'б) 2cos7°30'*sin52°30'в) cos π/4*cos π/12г) sin π/4*sin π/12

Answer 1

A)
$2sin22к30'*cos7к30'=2* \frac{1}{2} (sin(22к30'+7к30')+sin(22к30'-7к30'))=$$=sin30к+sin15к= \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} = \frac{2+ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}$

$sin15к=sin(45к-30к)=sin45кcos30к-cos45кsin30к=$$=\frac{ \sqrt{2} }{2} * \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}* \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}$
б)
$2cos7к30'*sin52к30'=2* \frac{1}{2} (sin(52к30'+7к30')+sin(52к30'-7к30'))=$$=sin60к+sin45к= \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{3} + \sqrt{2} }{2}$
в)
$cos \frac{ \pi }{4} *cos \frac{ \pi }{12} =cos45к*cos15к= \frac{ \sqrt{2} }{2} * \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}= \frac{ \sqrt{12}+2 }{8} = \frac{2 \sqrt{3}+2 }{8} =$$=\frac{2( \sqrt{3} +1)}{8}= \frac{ \sqrt{3} +1}{4}$

$cos15к=cos(45к-30к)=cos45к*cos30к+sin45кsin30к=$$= \frac{ \sqrt{2} }{2} * \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} * \frac{1}{2} = \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}$
г)
$sin \frac{ \pi }{4} *sin\frac{ \pi }{12} =sin45к*sin15к= \frac{ \sqrt{2} }{2}* \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{12}-2 }{8}= \frac{2 \sqrt{3}-2 }{8}=$$=\frac{2( \sqrt{3} -1)}{8}= \frac{ \sqrt{3} -1}{4}$

$sin15к=sin(45к-30к)=sin45кcos30к-cos45кsin30к=$$=\frac{ \sqrt{2} }{2} * \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2}* \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}$

Answer 2

Давайте разберемся с каждым элементом этого выражения:

1. \(2\sin{22°30'}\cos{7°30'}\)

2. \(2\cos{7°30'}\sin{52°30'}\)

3. \(\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{12}}\)

4. \(\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{12}}\)

Для удобства обозначим углы следующим образом:

- \(\alpha = 22°30'\) - \(\beta = 7°30'\) - \(\gamma = 52°30'\)

Теперь давайте поочередно вычислим каждое из выражений:

1. \(2\sin{\alpha}\cos{\beta}\)

Заменяем углы: \(2\sin{22°30'}\cos{7°30'}\)

2. \(2\cos{\beta}\sin{\gamma}\)

Заменяем углы: \(2\cos{7°30'}\sin{52°30'}\)

3. \(\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{12}}\)

4. \(\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{12}}\)

Теперь приступим к вычислению каждого из этих элементов:

1. \(2\sin{\alpha}\cos{\beta}\)

\(\alpha = 22°30' = \frac{22.5}{180}\pi\)

\(\beta = 7°30' = \frac{7.5}{180}\pi\)

\(2\sin{\frac{22.5}{180}\pi}\cos{\frac{7.5}{180}\pi}\)

Это выражение можно упростить, используя тригонометрические тождества. Например, можно воспользоваться формулой для произведения синусов: \(2\sin{\alpha}\cos{\beta} = \sin{2\alpha}\)

Таким образом, \(2\sin{\frac{22.5}{180}\pi}\cos{\frac{7.5}{180}\pi} = \sin{\frac{45}{180}\pi} = \sin{\frac{\pi}{4}}\)

2. \(2\cos{\beta}\sin{\gamma}\)

\(\beta = 7°30' = \frac{7.5}{180}\pi\)

\(\gamma = 52°30' = \frac{52.5}{180}\pi\)

\(2\cos{\frac{7.5}{180}\pi}\sin{\frac{52.5}{180}\pi}\)

Снова воспользуемся тригонометрическим тождеством: \(2\cos{\beta}\sin{\gamma} = \sin{2\gamma}\)

Таким образом, \(2\cos{\frac{7.5}{180}\pi}\sin{\frac{52.5}{180}\pi} = \sin{\frac{105}{180}\pi} = \sin{\frac{7\pi}{12}}\)

3. \(\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{12}}\)

Это можно упростить, используя формулу для произведения косинусов: \(\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{2}(\cos{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{5\pi}{6}})\)

4. \(\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{12}}\)

Аналогично, используя формулу для произведения синусов: \(\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{2}(\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{\frac{5\pi}{6}})\)

Таким образом, значение данного выражения:

\[ \sin{\frac{\pi}{4}} + \sin{\frac{7\pi}{12}} + \frac{1}{2}(\cos{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{5\pi}{6}}) + \frac{1}{2}(\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{\frac{5\pi}{6}}) \]

можно упростить и выразить как:

\[ \sin{\frac{\pi}{4}} + \sin{\frac{7\pi}{12}} + \cos{\frac{\pi}{6}} \]

Это значение можно дополнительно упростить, используя тригонометрические тождества, и оно равно \(\frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{6}}{4}\).