Question

Найти определенный интегралe^x * cosx dx, предел интегрирования от 0 до пи/2

Answer 1

/////////////////////////////////////////////

Answer 2

Чтобы найти определенный интеграл от функции e^x * cos(x) по пределам от 0 до π/2, мы должны сначала найти неопределенный интеграл этой функции и затем подставить пределы интегрирования.

Для нахождения неопределенного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Используя формулу интегрирования по частям ∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ u' * ∫ v dx, где u и v - функции, а u' - производная функции u, мы можем определить u = e^x и dv = cos(x) dx.

Тогда, du = e^x dx и v = ∫ cos(x) dx = sin(x).

Подставляя значения u, du, v и dv в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫ e^x * cos(x) dx = e^x * sin(x) - ∫ e^x * sin(x) dx.

Теперь у нас есть новый интеграл, который мы можем решить снова, используя метод интегрирования по частям.

В этом случае, u = e^x и dv = sin(x) dx.

Тогда, du = e^x dx и v = ∫ sin(x) dx = -cos(x).

Подставляя значения u, du, v и dv в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫ e^x * sin(x) dx = -e^x * cos(x) + ∫ e^x * cos(x) dx.

Теперь у нас есть уравнение, в котором искомый интеграл встречается снова. Мы можем перенести его в левую часть уравнения:

2∫ e^x * cos(x) dx = e^x * sin(x) - e^x * cos(x).

Теперь делим обе части уравнения на 2:

∫ e^x * cos(x) dx = (e^x * sin(x) - e^x * cos(x))/2.

Теперь мы можем подставить пределы интегрирования от 0 до π/2:

∫[0,π/2] e^x * cos(x) dx = [(e^x * sin(x) - e^x * cos(x))/2] [0,π/2].

Подставляя верхний предел π/2, получаем:

(e^(π/2) * sin(π/2) - e^(π/2) * cos(π/2))/2.

Теперь вычислим значения sin(π/2) и cos(π/2):

sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0.

Подставляя эти значения, получаем:

(e^(π/2) * 1 - e^(π/2) * 0)/2 = e^(π/2)/2.

Таким образом, определенный интеграл от функции e^x * cos(x) по пределам от 0 до π/2 равен e^(π/2)/2.